Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Итак, доказательство теоремы о сумме углов треугольника может быть проведено различными способами. Считаем, что было бы желательно познакомить с ними учащихся, проявляющих интерес к изучению математики. Такая работа может быть предложена ученикам и при доказательстве других теорем.

Анализ содержания и доказательства теоре

мы, расчленение доказательства на отдельные логические шаги, выделение тех понятий и теорем, на основе которых доказывается данная, помогает учителю осознать содержание подготовительной работы, которая должна быть выполнена перед рассмотрением теоремы. Много внимания такой подготовительной работе при изучении отдельных теорем уделено в пособиях для учителя [7,8].

Рассмотрены лишь некоторые приемы анализа содержания и доказательства теорем, однако и они дают представление о том, каким образом вести анализ отдельной теоремы. Всесторонний и обстоятельный анализ теорем школьного курса поможет учителю глубже раскрыть перед учениками их суть. Такой подход даст возможность развивать не только память учащихся, но и их математическое мышление, сделает процесс изучения теорем более содержательным и интересным, настоящей школой познания математики, а это позволит перенести полученные знания, умения и навыки на решение разнообразных математических задач.

5 ПРОТИВОРЕЧИЯ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

В произошедшем столкновении разных точек зрения на школьный курс математики, в его перестройке общие, по существу философские установки сказались самым непосредственным образом, хотя они не были во всем ясно осознанны. Более всего это касается курса геометрии. Именно для понимания геометрии философский взгляд представляется особенно существенным, прежде всего, потому, что в этом курсе, в самой геометрии содержится глубокая трудность – внутреннее противоречие.

Исследование противоречия в сущности предмета составляет ядро, главное содержание диалектики.

В данном параграфе рассматривается основной источник статья А. Д. Александрова «Диалектика геометрии» [10].

Курс геометрии начинается с указания примеров геометрических фигур, изображаемых на рисунках. Так, например, пишут: «Посмотрите на рисунок. Вы видите прямую и три точки , , на этой прямой».

Дальше, опять со ссылками на рисунки, вводятся понятия (или представления) о расположении точек на прямой и об отрезках. Затем говорится: «Посмотрите на рисунок. прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

В самом деле, посмотрите на воспроизведенный из учебника рисунок. «Прямая » на нем не разбивает плоскость, потому что от точки до можно дойти, огибая нарисованную «прямую». На это, случается, обращают внимание сами ученики. Разбивает плоскость не «прямая» на рисунке, а воображаемая мыслимая прямая, которая «считается» неограниченно продолженной в обе стороны. Каждому понятно, что одно дело то, что видно на рисунке, а совсем другое – то, что «считается».

Аналогичное явление обнаруживается еще раньше в формулировке: «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Но если «прямая», как перед этим объясняется, проводится с помощью линейки, то через две точки можно провести много разных «прямых» – одну покороче, другую подлине и т. д.

Понятно, что указанное свойство принадлежит прямой, которая «считается неограниченно продолженной в обоих направлениях». Но это не оговаривается. Однако в жизни каждый понимает прямую как конечную линию, которая может быть или короче, или длиннее, и никто не считает ее неограниченно продолженной в обоих направлениях. Неограниченно – значит и за пределы Солнечной системы, за пределы метагалактики!? Понятно, неограниченно продолженная прямая – это абстракция.

Итак, мы обнаруживаем противоречие в самом начале курса геометриипротиворечие между реальностью, представленной на рисунке, с одной стороны, и мыслимым образом или абстрактным понятием геометрической фигуры – с другой. И если это противоречие конкретного объекта и абстрактного понятия не разъяснено, то оно оборачивается путаницей и внушением учащимся, будто они видят на рисунке то, что на самом деле не видят и видеть не могут. (Понятие прямой отражает реальность, но в идеализированной форме, дополненной представлением о бесконечном продолжении.)

В самом начале школьного учебника показывают на рисунке примеры простейших фигур и тут же говорят, что «фигуры состоят из точек», что «всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек».

Но это не может непосредственно относится к фигурам, как они нарисованы, и к точкам, которые «наносятся остро отточенным карандашом». На самом деле имеются ввиду абстрактные фигуры и идеальные точки без всяких размеров, не наносимые на рисунок никаким карандашом, идеальные прямые без всякой толщины, не проводимые по линейке; подразумевается взгляд на фигуру как на множество точек. Но этот взгляд, представляющий далеко идущую абстракцию, сложился менее 100 лет назад, а до того никто не мыслил себе фигуры, составленные из точек, и теперь математики их так не столько «представляют себе», сколько абстрактно мыслят (что, впрочем, тоже спорно). Так здесь, в самом начале курса, мы вновь обнаруживаем вариант уже указанного противоречия: фигура подается как то, что есть на рисунке, т. е. как нечто материальное, и вместе с тем как множество точек, т. е. как нечто совершенно абстрактное. Если это противоречие не раскрыто, то, «что такое геометрическая фигура» остается неясным.

Другая сторона того же противоречия обнаруживается в доказательствах теорем: требуется, чтобы они проводились путем «чисто логического рассуждения», и вместе с тем они неизбежно опираются на наглядные представления. Иногда в учебниках даже особо подчеркивается, что при доказательстве теорем разрешается пользоваться только теми свойствами фигур, которые указаны в аксиомах или установлены доказанными теоремами; другими свойствами фигур, даже если они кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

Однако это указание постоянно нарушается прежде всего тем, что ряд понятий и свойств фигур, не оговоренных в аксиомах, в дальнейшем изложении вводится из наглядных соображений. Не доказывается, что точка на отрезке делит его на два отрезка, что треугольник (как фигура из трех точек и соединяющих их отрезков) ограничивает часть плоскости, не определяется, что значит «ограничивает», и др. Все это очевидно и может оставаться в школьном курсе без доказательств и определений, но не согласуется с запрещением ссылаться на очевидность.

 Скачать реферат