Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Затем доказывается, что а) треугольники и равны; б) прямые и параллельны; в) углы и являются внутренними односторонними при соответствующих параллельных прямых, и сумма их равна ; г) угол является суммой углов и ; д) сумма углов треугольника равна .

В статье П. М. Олоничева [9] использован прием доказательства, при котором сумма углов треугольника сводится к сумме углов, составляющих развернутый угол.

Теперь рассмотрим несколько иной вариант доказательства, который основывается на знакомом уже учащимся методе доказательства с применением аксиомы .

Пусть – данный треугольник. Выберем на плоскости полупрямую . По аксиоме существует треугольник , равный треугольнику , такой, что вершина совпадает с вершиной , вершина лежит на полупрямой ; вершину расположим так, чтобы она и вершина лежали в разных полуплоскостях, определяемых прямой . Так как , то вершина совпадает с и рассматриваемый треугольник есть (рис. 4).

Рис. 4

Точки и лежат в различных полуплоскостях относительно прямой , поэтому отрезок пересекает эту прямую. Полупрямая проходит между сторонами угла , значит,

Углы и , по определению, внутренние накрест лежащие при прямых и и секущей , и так как они равны как соответствующие углы в равных треугольниках и , то

(1)

и

Отрезок в силу выбора точки не имеет общих точек с прямой,и поэтому точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой .

Дальнейшие рассуждения могут быть различными.

I способ. Так как точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой , то углы и – внутренние односторонние при параллельных прямых и и секущей . Отсюда , и с учетом равенства (1)

II способ. Рассмотрим полупрямую , дополнительную к полупрямой (рис. 5).

Рис. 5

Точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой , поэтому точки и лежат в разных полуплоскостях относительно той же прямой. Углы и – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Следовательно,

(2)

Углы и – смежные, значит, , а тогда, учитывая равенства (1) и (2), получаем, что

 Скачать реферат