Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Итак, – квадрат со стороной , так что его площадь равна . Но сумма его площади и площадей четырех треугольников равна площади исходного

большого квадрата, т. е.

Левая часть равна , а правая – , откуда и видно, что . Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне не было, но вавилонские математики умели проделывать все, что здесь требуется, иначе, хотя это было более громоздко.

Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора. Теперь его часто используют в школе.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел , , , что

(1)

Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа , , : 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки ? Иными словами, можно ли найти все решения уравнения в натуральных числах? (В связи с терминологией обратите внимание, что решение – это не одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде

, , (2)

где – натуральные числа, причем , или в аналогичном виде, в котором и меняются местами. Можно чуть короче сказать, что , , из (2) со всевозможными натуральными и суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки и . Например тройка (3, 4, 5) получается при =1, =2, =1.

Так что при любых натуральных с тройка , определяемая согласно (2), является решением (1)., можно проверить непосредственно путем простого вычисления. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? На самом деле, как это часто бывает, «прокручивая в обратную сторону» рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением. При перестановке и снова получается решение.

По видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить больше решений.) Как его позднее доказывали древние греки – известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах.

Сделаем несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если , и имеют общий делитель , скажем

, ,

где – натуральные числа, то ясно, что тройка снова является решением (1). Обратно, если знаешь какое-то решение , то умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное , то снова получится решение. Поэтому можно ограничится разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идет об общем делителе всех трех чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у и , был бы общий делитель, то тот бы делитель был и у третьего. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа ( и , и , и ) не имеют общий делитель . Так что если мы интересуемся только взаимно простыми , , , то для них в (2) должно быть =1, и утверждение, которое надо доказать, несколько упрощается: натуральные решения уравнения (1) с взаимно простыми , , с точностью до перестановки и представимы в виде

 Скачать реферат