Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Рефераты / Математика / Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Отсюда ,

Аналогично , отсюда .

Складывая полученные равенства почленно и, замечая, что , получим

Т. д.

2. Теорема

Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Дано: и – прямоугольные треугольники.

Доказать:

Доказательство

Построим , равный . Так как прямые и перпендикулярны прямой , то они параллельны.

По теореме о пропорциональных отрезках . А так как по построению:

, то

Т. д.

3. Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Дано: , стороны угла пересекаются параллельными прямыми в точках , и , соответственно.

Доказать:

Доказательство

Докажем равенство (*) в случае, когда существует такой отрезок длинной , который укладывается целое число раз и на отрезке и на отрезке . Пусть и . Разобьем отрезок на равных частей (длины ). При этом точка будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой . По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок на равные отрезки некоторой длины . Имеем , мы видим, что

и , значит .

Т. д.

4. Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки на другой его стороне.

Дано: , – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, лежит между .

– соответственно точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. .

Доказать:

Доказательство

Проведем через точку прямую , параллельную прямой , т.е. . По свойству параллелограмма , . И так как , то .

– по второму признаку. У них по доказанному. , как вертикальные, а , как внутренние накрест лежащие при параллельных и и секущей . Из равенства треугольников следует равенство сторон .