Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку и перпендикулярную прямой .

Т. д.

4 ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ НА УРОКЕ

Доказательство теорем – постоянный элемент уроков математики, особенно геометрии.

Знакомство с содержанием теоремы и ее доказательством вооружает учащихся материалом, который используется при изложении дальнейшего теоретического материала и решении разнообразных упражнений. Доказательство развивает навыки логических рассуждений, приучает учащихся обосновывать свои рассуждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений, дает возможность осознать дедуктивный характер математики. В ходе доказательства теорем развиваются также умения расчленять рассуждения на отдельные логические шаги, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математической ситуации, и некоторые другие. Все навыки и умения, приобретенные учениками в ходе изучения теорем, совершенствуются при решении задач.

Таким образом, умение проводить доказательства теорем позволяет учащимся сознательно и глубоко изучать математику на протяжении всего этапа обучения. Естественно поэтому, что методика доказательства теорем на уроке – одно из важнейших звеньев процесса обучения математике и оно требует от учителя особого внимания.

Однако наблюдения за работой отдельных учителей математики, имеющих разный опыт работы, показывает, что в ряде случаев изучение теоремы, ее доказательство носит формальный характер. При этом преобладает синтетический способ доказательства, постоянное применение которого не раскрывает сути теорем; их изложение не дополняется анализом, позволяющим ученикам осмыслить ход рассуждений, понять обоснованность ряда дополнительных построений, не выделяются главные особенности доказательства. Не всегда проводится анализ формулировки теорем, не раскрывается значение каждого из элементов формулировки, не производятся необходимые контрпримеры. Все это ведет к тому, что значительная часть учащихся заучивают доказательство теоремы без достаточного понимания. Процесс доказательства теорем не становится тем основополагающим звеном процесса обучения математике, в ходе которого развивается математическое мышление учащихся, приобретаются умения и навыки, необходимые для осмысленного изучения предмета.

Одна из причин указанных недостатков, как нам представляется, коренится в недостаточно обстоятельной подготовке к таким урокам учителей. Наши методические пособия, давая учителям готовые рекомендации, не нацеливают их на самостоятельный всесторонний методический анализ материала изучаемого на уроке. Ни в одном из широко распространенных методических пособий нет перечня действий, выполнение которых помогало бы учителю анализировать материал при подготовке к уроку. Между тем такой анализ в настоящее время приобретает особое значение в связи с изучением геометрии по учебному пособию А. В. Погорелова [3]. Чрезвычайная краткость и сжатость изложения материала, основные принципы составления учебника, реализованные в указанном пособии, требуют от учителя большой самостоятельной подготовительной работы к уроку.

Именно поэтому мы хотим привести перечень некоторых основных умственных действий; их выполнение поможет учителю при подготовке к доказательству теорем. Хотя в основном они и знакомы учителю, но, как показывает практика, не всегда реализуются в работе. Для обстоятельного анализа теоремы при подготовке к уроку важно выполнение совокупности всех или большей части из ниже указанных действий. Перечень их дает учителю, особенно начинающему, возможность получить необходимые ориентиры для повседневной работы, более целенаправленно и рационально вести подготовку к уроку.

Приведем основные действия.

1. Анализ формулировки теоремы. Выделение условия и заключения теоремы. Выяснение существенности каждого элемента формулировки. Учет ошибок, которые могут допустить учащиеся. Подготовка соответствующих контрпримеров.

2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, значение теоремы в системе теорем раздела и всего курса геометрии и ее приложений.

3. Применение аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитического рассуждения, позволяющего учащимся уяснить особенности и последовательность доказательства, необходимость тех или иных построений.

4. Выяснение метода, идеи, приема и других особенностей доказательства.

5. Исследование математической ситуации, возникающей при доказательстве теоремы. Рассмотрение всех возможных случаев.

6. Выяснение других возможных способов доказательства теоремы.

7. Расчленение доказательства теоремы на отдельные части, на отдельные логические шаги. Составление плана доказательства. Рациональная запись доказательства.

8. Выявление понятий, предложений, на которых основано доказательство теоремы. Выделение предложений, требующих повторения.

9. Составление содержания подготовительной работы к доказательству теоремы, подбор упражнений и заданий, подготавливающих учащихся к ее восприятию.

10.Подбор упражнений, закрепляющих изученную теорему, выявляющих ее связь с другими предложениями.

В результате анализа теоремы и ее доказательства необходимо сделать вывод о методике изучения рассматриваемой теоремы на уроке, целесообразности применения тех или иных методов и средств обучения.

Рассмотрим подробнее наиболее важные из перечисленных действий: анализ и исследование теоремы.

Одной из основных составных частей анализа теорем является применение аналитико-синтетического метода доказательства и подготовка аналитического рассуждения, являющегося частью изложения теоремы этим методом.

Анализ доказательства позволяет выделить метод, идею, прием, характерные черты доказательства теоремы. Это помогает учащимся выяснить особенности применяемого метода, возможности использования рассматриваемого метода или приема при доказательстве других теорем и решении задач, т. е. создает условия для переноса знаний. Приведем пример.

Рассмотрим доказательства признаков равенства двух треугольников и [3, § 3]. Метод доказательства всех трех признаков один: на основании аксиомы , утверждаем, что существует третий треугольник , равный треугольнику и определенным образом расположенный относительно луча ; мысленно строим его и доказываем, что он совпадает с треугольником . Схема рассуждений может быть представлена в следующем виде.

 Скачать реферат