Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Так как противоположные стороны параллельны, то по определению этот четырехугольник параллелограмм.

Т. д.

12. Признак параллельности прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна , то прямые параллельны.

Дано: и и – секущая и внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказать: .

Доказательство

Допустим, прямые , а значит пересекаются в некоторой точке . Секущая разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка . Построим , равный , с вершиной в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных , и секущей равны. Так как соответствующие углы треугольников и с вершинами и равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая совпадает с прямой , а прямая совпадает с прямой . Получается, что через точки и проходят две различные прямые и . А это невозможно. Значит, прямые и параллельны.

Если у прямых и и секущей сумма внутренних односторонних углов равна , то, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые и параллельны.

Т. д.

Из теоремы , что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

13. Свойство медианы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Дано: – равнобедренный, – основание, – медиана.

Доказать: – биссектриса, – высота.

Доказательство

(по первому признаку равенства треугольников). (У них стороны , потому что – равнобедренный, как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона , потому что – середина .)

Из равенства треугольников следует равенство углов: , . Так как , то – биссектриса. Так как и смежные и равны, то они прямые, поэтому – высота треугольника.

Т. д.

14. Теорема

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Дано: – прямая, – точка .

Доказать: , – единственная.

Доказательство

Обозначим через одну из полупрямых прямой с начальной точкой . Отложим от полупрямой угол , равный . Тогда прямая, содержащая луч , будет перпендикулярна прямой .

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку и перпендикулярная прямой . Обозначим через полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом .Углы и равны каждый , отложены в одну полуплоскость от прямой . Но от полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить только один угол, равный .

 Скачать реферат