Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Во всех трех признаках равенства треугольников и имеется хотя бы одно условие равенства сторон.

Пусть .

Надо доказать:

1) Выбер

ем полупрямую . По аксиоме существует , такой, что

вершина совпадает с ,

вершина лежит на полупрямой ,

вершина лежит с вершиной в одной полуплоскости относительно прямой .

2) Пользуясь определением равных треугольников, условием теоремы и ранее рассмотренными предложениями, доказываем, что

совпадает с .

Следовательно .

Таким образом более отчетливо выявляется структура доказательства. Первая часть повторяется во всех трех случаях. Вторая часть различна и зависит от условия теоремы.

Выявление метода, идеи доказательства в отдельных случаях помогает организовать самостоятельный поиск доказательства учащимися.

В качестве примера возьмем вывод формул для вычисления площадей многоугольников: параллелограмма, треугольника, трапеции [3, § 14]. Вычисление площади каждого из этих многоугольников сводится к вычислению площадей многоугольников, для которых уже выведены соответствующие формулы. На примере вывода формулы для вычисления площади параллелограмма ученики знакомятся с применением этого метода. А для треугольника или трапеции можно предложить им самим подумать, как свести вычисление площадей к вычислению площадей многоугольников по уже известным формулах. Наверняка учащиеся предложат несколько различных вариантов вычислений, среди которых могут быть и отличные от имеющихся в учебном пособии. Например, для вычисления площади треугольника использовать формулу площади параллелограмма (рис. 1, а, б) или прямоугольника (рис. 1, в); для вычисления площади трапеции использовать формулы площади треугольника (рис. 2, а), площади прямоугольника, ромба, параллелограмма и формулу площади треугольника (рис. 2, б – г).

Рис. 1

а) б)

в)

Рис. 2

а) б)

в) г)

В некоторых случаях вычисления будут более сложными, чем приведенные в учебном пособии. Сравнивая их, ученики убеждаются, что в пособии выбран наиболее простой и рациональный способ рассуждений.

Элементом доказательства многих теорем является исследование. Опыт ведения уроков показывает, что доказательство теоремы легче осмысливается, если все возможные случаи четко выделены. Элемент исследования имеет место при доказательстве третьего признака равенства треугольников [3, § 3]. После того как на основании аксиомы рассмотрен треугольник , равный треугольнику , и после того доказано, что сторона совпадает со стороной , мы рассматриваем положение вершины . В полуплоскости относительно прямой содержащей , она может занимать следующие положения: а) либо совпадает с , тогда терема доказана; б) либо лежит на одной из полупрямых или , тогда легко доказывается, что в силу равенства и или равенства и вершина совпадает с , и теорема доказана; в) либо не лежит ни на одной из полупрямых и . Последнего случая быть не может, что и доказывается в пособии.

При выводе формул координат середины отрезка и расстояния между точками [3, § 8] важно в начале доказательства четко выделить случаи расположения отрезка , определяемого точками и , относительно осей координат. Иначе, как показывает опыт, частные случаи учащимися, как правило не рассматриваются, и следовательно, доказательство не носит завершенного характера.

Анализ теоремы, выделение приемов доказательства помогают в отдельных случаях найти другой способ доказательства теоремы. В качестве примера возьмем теорему 4.4 [3] о сумме углов треугольника.

Чтобы доказать, что сумма углов треугольника равна , можно использовать такие приемы рассуждений: показать, что сумма углов треугольника может быть сведена 1) к сумме внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых, 2) к сумме смежных углов, 3) к сумме углов, составляющих развернутый угол.

В пособии [3] используется первый прием. Для того чтобы воспользоваться им, и выполняется дополнительное построение (рис. 3).

 Скачать реферат