Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Автор папируса обращается к реальному или вымышленному писцу, который занимает высокое положение, но в действительности некомпетентен и который, похоже, имеет возможность эксплуатировать автора:

«Я хочу объяснить тебе, что это значит, когда ты говоришь: «Я писец, отдающий приказы в армии». Тебе поручено выкопать озеро. Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат и говоришь: «Сосчи

тай мне это». Ты оставляешь свою работу, а на мои плечи сваливается задача – учить тебя как ее выполнять. Я ставлю тебя в тупик, когда приношу тебе повеление от твоего господина, тебе – его царскому писцу … мудрому писцу, поставленному во главе этого войска. Надлежит сделать насыпь для подъема в 750 локтей длины и 55 локтей ширины, состоящую из 120 отдельных ящиков и покрытую перекладинами и тростником. На верхнем конце ее высота 60 локтей, а в середине 30 локтей, уклон ее – дважды по 15 локтей, а настил – 5 локтей. Спрашиваю у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все надеются на тебя и говорят: «Ты искусный писец, мой друг, сосчитай нам это поскорей. Смотри, имя твое славится. Сколько же надо для этого кирпичей?»»

Из этого отрывка видны некоторые из обязанностей писца. Речь идет не о каких-то мистических тайнах мироздания, или, что то же, богов, чего можно было ожидать от жрецов, а о весьма прозаических делах, требующей определенной квалификации. Видно также, что уже три с половиной тысячи лет назад объективно прогрессивный процесс разделения труда дошел до того, что видный организатор науки (протонауки) мог быть не очень в ней силен.

На более позднем этапе (и может быть, более в Вавилоне, чем Египте), видимо, сыграли свою роль и «высокие» мотивы вместе с соответствующими возможностями в смысле досуга, о чем говорит Аристотель. Жрецы тоже могли выступить на сцену. Им не приходилось подсчитывать число кирпичей, но они, может быть, занимались астрономией ради астрологических предсказаний. Тогда не могло быть речи о составлении гороскопов, требующем знания положения планет на небе, начиная с момента рождения того лица, для которого составляется гороскоп, и на много лет после того. Но тогда была, так сказать «протоастрология», делавшая предсказания на более короткие отрезки времени на основании более ограниченных данных о виде неба. С развитием астрономии в ней появилась немаловажная вычислительная сторона, требовавшая некоторой математики. Впрочем, насколько во всем этом участвовали жрецы – неизвестно. Известно, что заведомо существовали астрологи-профессионалы, которые не были жрецами.

В вавилонской протонауке уже определенно происходил переход к науке. В клинописных текстах рассмотрено много задач, не имевшим отношения ни к кирпичам для насыпи, ни к другим видам практической деятельности. Фактически, там решаются квадратные уравнения и даже отдельные уравнения более высоких степеней – и это без алгебры! Вавилоняне знали так называемую теорему Пифагора и теорему, обратную ней. Это как раз могло иметь отношение к землемерию, потому что позволяло с помощью веревки построить прямой угол. В более позднюю эпоху, когда в Греции уже зародилась наука в нашем смысле слова, какие-то геометрические построения на местности с помощью веревки уже определенно производились. На сей счет имеется прямое свидетельство Демокрита, который с гордостью заявил: «В построении линий с доказательствами я никем не был превзойден, даже так называемыми египетскими гарпедонавтами (греческое слово «гарпедонавт» означает «натягивающий веревку»)». В словах Демокрита удивительно упоминание о доказательствах. Ни в одном египетском или вавилонском тексте ничего похожего на доказательства нет. Но, с другой стороны, часть вавилонской протонауки достигла уже того уровня, когда соответствующие результаты невозможно было получить без каких-то рассуждений, может быть и не дающих исчерпывающе строгого доказательства, но приближающегося к нему. А Демокрит состязался с гарпедонавтами в довольно позднее по масштабам древнеегипетской науки время. Увы, повторяю, что ни одного текста с доказательствами до нас не дошло. Уверенно реконструируется благодаря более поздним индийским источникам только одно-единственное рассуждение – доказательство теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Пусть и – катеты прямоугольного треугольника, – его гипотенуза. Построим квадрат со стороной и возьмем на его сторонах , , , такие точки , , , соответственно ,что .

Иными словами, от каждой вершин , , , откладывается по отрезку длины в направлении к следующей вершине; «следующей» значит «следующей в порядке ». Наш квадрат разбивается на четырехугольник и четыре прямоугольных треугольника , , , . У каждого из треугольников один катет равен , а другой – . Значит, все эти треугольники равны, так что в частности, . Гипотенуза равна , а площадь треугольника есть . У четырехугольника длина каждой стороны равна , так что это ромб. Кроме того, все его углы прямые. Например

 Скачать реферат