Нестандартные методы решения задач по математике

Рефераты / Математика / Нестандартные методы решения задач по математике

Ответ: .

Пример 21 Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную . Тогда , mg border=0 width=117 height=25 src="images/referats/655/image326.gif">и уравнение принимает вид

Уравнение имеет очевидный корень . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения на , тогда

Так как , а , то левая часть уравнения является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что --- корень уравнения . Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем . Тогда единственным корнем уравнения является .

Ответ: .

Пример 22 Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на , тогда

Подбором нетрудно установить, что является корнем уравнения . Покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим и . Очевидно, что . Следовательно, каждая из функций и является убывающей и при этом .

Если , то , и .

Следовательно, среди 2 или корней уравнения нет.

Ответ: .

5. Методы решения функциональных уравнений

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

или

где , , --- некоторые функции и .

Методы решения функциональных уравнений , основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 23 Корни уравнения являются корнями уравнения

Доказательство. Пусть --- корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы равенства

Отсюда следует, что

т.е. является корнем уравнения .

Теорема 24 Если --- возрастающая функция на отрезке и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . He нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции справедливы неравенства