Нестандартные методы решения задач по математике

Решение. Поскольку является целым числом, то --- тоже целое число. Следовательно, число также является целым. В таком случае и уравнение принимает вид или . Целыми корнями последнего уравнения являются и .

Ответ: и .

Пример 57 Решить уравнение

Решение. Рассмотрим последовательно три случая.

Если , то и , т.е. решением уравнения могут быть только .

Пусть , тогда из уравнения следует, что . Так как и , то получаем систему неравенств

Решением данной системы неравенств являются .

Если , то и . Следовательно, уравнение не имеет корней среди .

Ответ: .

Пример 58 Решить уравнение

Решение. Используя свойство , можно записать

Так как , то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим

Отсюда, принимая во внимание уравнение , следуют неравенства

Поскольку в этом случае следует, что или . Так как --- целое число, то отсюда получаем, что или . Следовательно, имеем .

Из уравнения следует, что --- целое число. Так как , то остается лишь проверить целые значения от до . Нетрудно установить, что решениями уравнения являются , и .

Ответ: , , .

Пример 59 Решить уравнение

Решение. Из формулы следует, что . В этой связи уравнение можно переписать, как .

Отсюда следует уравнение

Очевидно, что является корнем уравнения . Положим, что . Тогда разделим обе части уравнения на и получим уравнение

Рассмотрим последовательно несколько случаев.

Если , то и . В таком случае .

Если , то и .

Если , то и , тогда .

Если , то , и . Отсюда следует, что уравнение корней не имеет.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

 Скачать реферат