Нестандартные методы решения задач по математике
Ответ: ,
.
Пример 45 Решить уравнение
Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения являются . Умножим обе части уравнения на
, тогда получаем
Решением уравнения являются ,
и
. Однако
--- посторонний корень для уравнения , поскольку при этом значении
левая часть уравнения равна
, а правая меньше
. Так как
, то
не может быть корнем уравнения . В этой связи
--- единственное решение исходного уравнения .
Ответ: .
Пример 46 Решить уравнение
Решение. Обозначим и
, тогда из уравнения получаем систему двух уравнений относительно переменных
,
вида
где и
.
Преобразуем левую часть второго уравнения системы следующим образом:
Так как , то
. Отсюда получаем
или
. Рассмотрим две системы
Корнями первой системы являются ,
и
,
, а вторая система решения не имеет. Следовательно,
или
. Отсюда получаем два уравнения относительно переменной
вида
и
. Первое уравнений корней не имеет, а из второго следует
и
. Ответ:
,
.
Пример 47 Решить уравнение
Решение. Преобразуем уравнение , используя свойство пропорции: если , то
. Тогда уравнение можно переписать как
Поскольку , то из уравнения получаем
; т.е.
и
.
Так как уравнения и равносильны, то решением уравнения являются и
.
Ответ: ,
.
Пример 48 Доказать неравенство
где и
.
Доказательство. Доказательство неравенства будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения и
, что
и
, при которых выполняется неравенство
Из неравенства получаем
Так как ,
и
, то из неравенства следует
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах