Математический анализ. Практикум

Глава 1. Введение в анализ

1.1 Функции. Общие свойства

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Аналитическое представление

функции:

в явном виде: ;

в неявном виде: ;

в параметрической форме:

разными формулами в области определения :

Свойства.

Четная функция: . Например, функция – четная, т.к. .

Нечетная функция: . Например, функция – нечетная, т.к. .

Периодическая функция: , где T – период функции, . Например, тригонометрические функции.

Монотонная функция. Если для любых из области определения – функция возрастающая, – убывающая. Например, – возрастающая, а – убывающая.

Ограниченная функция. Если существует такое число M, что . Например, функции и , т.к. .

Пример 1. Найти область определения функций.

+ 2 – 3 +

1.2 Теория пределов

Определение 1. Пределом функции при называется число b, если для любого (– сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: .

Определение 2. Пределом функции при называется число b, если для любого (- сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение: .

Определение 3. Функция называется бесконечно малой при или , если или .

Свойства.

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (постоянную, другую бесконечно малую величину) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Определение 4. Функция называется бесконечно большой при , если .

Свойства.

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Теорема. (Связь между бесконечно малой величиной и бесконечно большой величиной.) Если функция бесконечно малая при (), то функция является бесконечно большой величиной при (). И, обратно, если функция бесконечно большая при (), то функция является бесконечно малой величиной при ().

Теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

 Скачать реферат