Линейные дифференциальные уравнения

Последовательность матриц {Аm} имеет своим пределом А, если для любого ε > 0 существует такое целое число N, что при p, q > N

|Aq - Ap| <ε.

Очевидно, что последовательность {Аm} сходится в том и только в том случае, когда сходится каждая из последовательностей компонент, а отсюда следует, что {Аm} сходится в том и только в том случае, когда существует предельная матри

ца, к которой и сходится эта последовательность.

Бесконечный ряд

называется сходящимся, если сходится последовательность частных сумм, а суммой ряда называется предельная матрица для частных сумм. Важное значение при изучении линейных уравнений имеет специальный ряд, который называется экспонентной матрицей А, а именно:

(1.2)

где Аm есть m-я степень А. Ряд, определяющий еА, сходится для всех А, июо для любых положительных целых p и q

а последнее выражение есть разность Коши для ряда еА, сходящегося для всех конечных |A|. Далее,

|еА|(n-1) + е|А|. (1.3)

Для матриц, вообще говоря, равенство еА+В = еА еВ неверно. Это равенство верно, если А и В коммутируют. Далее будет показано, что

det еА = еspА, (1.4)

и поэтому еА есть неособая матрица для всех А. Так как –А коммутирует с А, то е-А = (еА)-1.

Каждая матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению det (λЕ-А) = 0, и это замечание часто бывает полезно для эффективного вычисления еА.

Пусть В – неособая матрица. Покажем, что существует матрица А (называемая логарифмом В), такая, что еА = В. В самом деле, если в имеет каноническую форму J теоремы 1, то А, очевидно, можно представить в виде

при условии, что еАi = Jj, j = 0, 1, …, s. Легко также проверить, что А0 можно представить в виде

Далее,

где Zj – нильпотентная матрица, определенная в теореме 1.1. так как высшие степени Zj равны нулю, то ряд

содержит лишь конечное число членов и поэтому сходится. Положим, по определению, сумму этого ряда, который на самом деле является многочленом от, равной

Таким образом,

есть многочлен от . С другой стороны. Из тождества

(|x| < 1)

следует после приведения справа подобных членов, коэффициенты при хk, k2, равны нулю, а коэффициент при х равен единице. Отсюда следует тот же результат для F, и поэтому

Отсюда легко получаем, что Аj можно представить в виде

Пользуясь тем, что для каждой матрицы М

(PMP-1)k = PM k P-1 (k = 1, 2, …),

нетрудно видеть, что

Отсюда следует, что результат, полученный для канонической матрицы В, переносится на произвольную неособую матрицу В. В самом деле, если J = eA и B = PJP-1, то В = , где = PАP-1. естественно, что матрица А не единственна.

Если Ф – произвольная квадратная матрица порядка n из функций, определенная на действительном i-интревале I (элементы матрицы могут быть действительными или комплексными функциями), то Ф называется непрерывной, дифференцируемой ли аналитической на I, если все элементы Ф соответственно непрерывны, дифференцируемы или аналитичны на I. Если Ф на I дифференцируема, то через обозначается произвольная матрица. Заметим, что если матрицы Ф, Ψ дифференцируемы, то

(1.5)

и, вообще говоря, .

Если в точке t производная матрица (t) существует и матрица Ф – неособая, то матрица Ф-1 в точке t дифференцируема. Это следует из равенства

где , а - алгебраические дополнения элементов . Из равенств (1.5) и Ф Ф-1=Е следует, что

(1.6)

Если матрица А на t-интервале I непрерывна и Ф удовлетворяет уравнению (t) = А(t)Ф(t), то

(1.7)

а в интегральной форме

(1.8)

1.2 Линейные однородные системы

Пусть А – непрерывная квадратная матрица порядка n, элементами которой служат непрерывные комплексные функции, определенные на t-интервале I. Линейная система

(ЛО)

Называется линейной однородной системой порядка n. Для любого ξ и для τI существует единственное решение φ системы (ЛО) на интервале I, удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. Замечание: если каждый элемент матрицы А измерим на I и

, (*)

где m интегрируема по Лебегу на I, то существует единственное решение φ системы (ЛО), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. В дальнейшем будем полагать, что для А выполняется по крайней мере условие (*).

 Скачать реферат