Линейные дифференциальные уравнения

Пусть φ = Фс – решение системы (ЛН). Тогда

= =АФс + Ф= А φ + Ф1 src="images/referats/643/image110.gif">= А φ + b,

где последнее равенство следует из (ЛН). Поэтому Ф= b, или

=b.

Последнее уравнение всегда разрешимо, причем если с(τ) = 0, то

.

Итак, φ определяется по формуле (3.1).

Легко видеть, что в условиях теоремы 3.1 решение системы (ЛН), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ (и | ξ | < ), дается в виде

, (3.2)

где - решение системы (ЛО), удовлетворяющее условию AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

φh(τ) = ξ .

Формула (3.1) (или (3.2)) называется формулой вариации постоянных для системы (ЛН).

Заметим, что формулу (3.1) можно записать в виде

,

где Ψ – фундаментальная матрица системы

,

сопряженной системе (ЛО). Другая форма записи формулы (3.1) такова:

,

однако здесь необходимо ограничение .

1.4 Линейные системы с постоянными коэффициентами

Пусть А – постоянная квадратная матрица порядка n и рассмотрим соответствующую однородную систему

. (4.1)

Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение еtА, и решение, которое при t = τ равно ξ , имеет вид е(t-τ)Аξ . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, ξ являются векторами произвольной конечной размерности и А – квадратная матрица порядка n.

Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой

Ф(t) = еtА (|t| < ), (4.2)

и решение φ системы (4.1), удовлетворяющее условию

φ(τ) = ξ (|τ | < , | ξ | < ),

имеет вид

φ(t) = е(t-τ)Аξ (|t| < ). (4.3)

Доказательство. Так как е(t-Δt)А = еtА еΔtА, то из определения производной легко получаем, что

Поэтому Ф(t) = еtА есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = еtspА . Итак, Ф – фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.

Замечание. Заметим, что выражение не обязано быть решением системы , если матрицы А(t) и не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.

Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J – каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р – неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.

Тогда

(4.4)

и J имеет вид

(4.5)

где J0 – диагональная матрица с элементами λ1, λ2,…, λq и

(i = 1, …, s). (4.6)

Далее,

(4.7)

и легкое вычисление показывает, что

(4.8)

Так как , то . Таким образом,

(4.9)

где - квадратная матрица порядка ri (n = q + r1 + … + rs). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица еtА системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой еtJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).

Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:

Ψ(t) = еtАP = P еtJ. (4.10)

Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р1, …, рn. Столбцы матрицы Ψ. Которые мы обозначаем через ψ1 , ψ 2 , …, ψ n , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем

, , …, ,

,

,

,

,

.

Так как АР = PJ, то векторы р1, …, рn удовлетворяют соотношениям

Ар1 = λ1р1,…, Арq = λqрq,

Арq+1 = λ q+1рq+1,

Арq+2 = рq+1 + λ q+1рq+2,

Арn-rs+1 = λ q+sр n-rs+1,

Арn-rs+2 = р n-rs+1+λ q+sр n-rs+2,

Арn = р n-1+λ q+sр n.

Решения ψj выражаются посредством независимых векторов р1, …, рn из предыдущей последовательности уравнений.

Страница:  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2020 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы