Линейные дифференциальные уравнения

Рефераты / Математика / Линейные дифференциальные уравнения

det (ФС)=( det Ф)( det С) 0,

то ФС – фундаментальная матрица.

Наоборот, если Ф1 и Ф2 – две фундаментальные матрицы , то Ф2 = Ф1С, где С – некоторая постоянная неособая матрица. Для доказательства этого положим Ф1-1Ф2 = Ψ(t). Тогда Ф2 = Ф1Ψ. Дифференцируя это равенство, получим, что height=36 src="images/referats/643/image068.gif">. Отсюда и из (2.1) следует, что , или . Поэтому и, следовательно, матрица ψ = С постоянна. Она неособая, так как этим свойством обладают Ф1 и Ф2.

Замечания. Если предполагать, что Ф2 – решение, то матрица С может быть особой.

Заметим, что если Ф – фундаментальная матрица системы (ЛО) и С – постоянная неособая матрица, то СФ, вообще говоря, не является фундаментальной матрицей.

Две различные однородные системы не могут иметь одну и ту же фундаментальную матрицу, ибо из уравнения (ЛО) следует, что Поэтому матрица Ф определяет матрицу А однозначно, хотя обратное утверждение и неверно.

Сопряженные системы. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то

или, переходя к сопряженным матрицам,

Поэтому - фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и матричное уравнение

. (2.3)

Система (2.3) называется сопряженной для системы (ЛО) и матричное уравнение

(2.4)

называется сопряженным для уравнения (2.2.). Это соответствие симметрично, ибо (ЛО) и (2.2) сопряжены (2.3) и (2.4) соответственно.

Теорема 2.4. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то Ψ есть фундаментальная матрица для сопряженной системы (2.3) в том и только в том случае, когда

(2.5)

где С – постоянная неособая матрица.

Доказательство. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО) и Ψ есть фундаментальная матрица системы (2.3), то так как - фундаментальная матрица частного вида уравнения (2.3),

где D – некоторая постоянная неособая матрица (теорема 2.3). Поэтому

и можно принять С = D*.

Наоборот, если Ф - фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и удовлетворяет (2.5), то или и, следовательно, в силу теоремы 2.3 Ψ - фундаментальная матрица сопряженной системы (2.3).

Если А = - А*, то , будучи фундаментальной матрицей для системы (2.3), является также фундаментальной матрицей для системы (ЛО). Поэтому в силу теоремы 2.3 или

(2.6)

где С – постоянная неособая матрица. Из уравнения (2.6), в частности, следует, что эвклидова длина каждого вектора-решения системы (ЛО) постоянна.

Понижение порядка однородной системы. Если известно m (0<m<n) линейно зависимых решений системы (ЛО), то можно понизить порядок системы на m единиц, и следовательно, дело сведется к решению линейной системы порядка n-m.

Предположим, что φ1 , φ2 , …, φm - m линейно независимых векторов, которые являются решениями системы (ЛО) на интервале I. Пусть вектор φj имеет компоненты φij (i = 1, …, n). Тогда ранг прямоугольной матрицы с элементами φij (i = 1, …, n; j = 1, …, m) для каждого равен m, так как ее столбцы линейно независимы. Это означает, что для каждого в этой матрице найдется отличный от нуля определитель порядка m. Выберем некоторое и предположим для определенности, что в точке t0 отличен от нуля определитель матрицы Фm с элементами φij (i = 1, …, m; j = 1, …, m). Тогда в силу непрерывной зависимости определителя от его элементов φij и непрерывности функций φij в окрестности t0 получим, что det Фm(t) 0 для t из некоторого интервала , содержащего t0. Пусть - один из таких интервалов; процесс понижения проведем для . (Идея этого процесса является модификацией метода вариации произвольных постоянных.)

Пусть матрица U имеет своими первыми m столбцами векторы φ1 , φ2 , …, φm и своими n-m столбцами – векторы еm+1, …, en, где ej – вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме j-го, который равен 1. Очевидно, что U – неособая матрица на . Сделаем в (ЛО) подстановку

x = Uy. (2.7)

Заметим, что решениям х = φj (j = 1, …, m) при подстановке (2.7) соответствуют решения y = ej (j = 1, …, m). Поэтому подстановку (2.7) можно рассматривать как систему относительно y, которая должна иметь решения ej (j = 1, …, m).

Подставляя (2.7) в систему (ЛО), получаем