Линейные дифференциальные уравнения

Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе

+b(t) , (4.11)

где А – постоянная матрица, дает для решения φ системы (4.11), удовлетворяющего условию φ(τ) = 0, , выражение

.

Решение φ системы (4.11), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ , где , | ξ |< , имеет вид

.

1.5 Линейные системы с периодическими коэффициентами

Рассмотрим линейную однородную систему

, (5.1)

где А – матрица элементами которой служат непрерывные комплексные функции, и

(5.2)

для некоторой постоянной ω 0. В этом случае (5.1) называется периодической системой с ω-периодом А. Основной результат для таких систем состоит в том, что фундаментальную матрицу можно представить как произведение периодической матрицы с тем же периодом ω и матрицы-решения для системы с периодическими коэффициентами.

Теорема 5.1. Если Ф – фундаментальная матрица для системы (5.1), то тем же свойством обладает матрица

Ψ(t) = Ф(t+ω) .

Каждой такой матрице Ф соответствует периодическая неособая матрица Р с периодом ω и постоянная матрица R, такие, что

Ф(t) = P(t)etR. (5.3)

Доказательство. Так как

,

то в силу (5.2)

.

Поэтому Ψ есть матрица-решение системы (5.1), и эта матрица фундаментальная, так как det Ψ(t) = det Ф(t+ω) 0 для .

Следовательно, существует постоянная матрица С, такая что

Ф(t+ω) = Ф(t)С, (5.4)

и, сверх этого, существует постоянная матрица R, такая что

С = еωR. (5.5)

Из (5.4) и (5.5) получаем

Ф(t+ω) = Ф(t) еωR. (5.6)

Определим матрицу Р по формуле

Р(t) = Ф(t) е-tR. (5.7)

Тогда, используя (5.6), получаем

Р(t+ω) = Ф(t+ω) е-(t+ω)R = Ф(t) еωR е-(t+ω)R = Ф(t) е-tR = Р(t).

Так как матрицы Ф(t) и е-tR для неособые, то Р(t) такая же, и это завершает доказательство.

Значение теоремы 5.1 состоит в том, что значение фундаментальной матрицы Ф на интервале длины ω, например , дает возможность определить Ф на всей числовой прямой. В самом деле, матрица С в (5.5) определяется как формула Ф-1(0)Ф(ω), а отсюда R определяется как (lnC)/ω. Теперь матрица Р(t) определена на интервале (0,ω) по формуле (5.7), а так как Р(t) имеет период ω, то она определяется на интервале . Теперь матрица Ф определена на интервале по формуле (5.3).

Если Ф1 – некоторая другая фундаментальная матрица системы (5.1), для которой выполняется (5.2), то

Ф = Ф1Т,

где Т – некоторая постоянная неособая матрица. Из (5.6) следует, что

Ф1(t+ω)Т = Ф1(t)ТеωR,

или

Ф1(t+ω) = Ф1(t)(ТеωRТ-1). (5.8)

Таким образом, в силу (5.8) каждая фундаментальна матрица Ф1 определяет матрицу ТеωRТ-1, подобную еωR . Наоборот, если Т – любая постоянная неособая матрица, то существует фундаментальная матрица Ф1 системы (5.1), такая, что выполняется (5.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно матрица А, определяет однозначно все связанные с R величины, инвариантные относительно подобных преобразований. В частности, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1) определяет однозначно множество характеристических корней, а именно характеристические корни матрицы С = еωR. Обозначим эти корни через λ1, λ2,…, λn и назовем их мультипликаторами, соответствующими матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо = det еωR 0. Характеристические корни матрицы R называются характеристическим показателями.

Интересно выяснить явный вид множества n линейно независимых векторов-решений системы (5.1). Пусть Т – постоянная неособая матрица, такая что матрица Т-1RТ = J имеет каноническую форму, указанную в теореме 1.1, и положим Ф1 = ФТ, Р1 = РТ. Тогда из (5.3) следует

Ф1(t) = Р1(t) еtJ , Р1(t+ω) = Р1(t). (5.9)

Поэтому, если ρi – характеристические корни R, то матрица еtJ имеет вид

где

и

(i = 1, …, s; q+= n).

Очевидно, что λi = еωρi , и поэтому, хотя сами корни ρi определяются неоднозначно, но их действительные части определяются однозначно. Из (5.9) следует, что столбцы φ1 , φ2 , …, φn матрицы Ф1, которые образуют множество n линейно независимых решений системы (5.1), имеют вид:

,

,

,

,

, (5.10)

,

 Скачать реферат