Линейные дифференциальные уравнения

Теорема 6.3. (Тождество Лагранжа). Предположим, что в Ln на I (k = 0, 1, …, n). Если u, v – произвольные (комплексные) функции на I, имеющие n производных, то

(), (6.11)

гд

е [uv] – форма относительно величин (u, , …, ) и (v, , …, ), задаваемая равенством

(6.12)

Доказательство. Пользуясь правилом дифференциального произведения, имеем для m = 0, 1, …, n

Таким образом, получаем

что доказывает формулу (6.11).

Следствие (Формула Грина). Если ак в Ln и u, v такие же как и в теореме 6.3, то для любых

(6.13)

где [u, v](ti) – значение [u, v] при t = ti.

Доказательство. Следует проинтегрировать тождество (6.11) в пределах от t1 до t2 .

Если ψ – известное решение уравнения на I, то в силу (6.11) отыскание решения Lnх = 0 сводится к отысканию функции φ, удовлетворяющей уравнению (n-1)-го порядка

Неоднородное линейное уравнение порядка n. Предположим, что на действительном t-интервале I а0 0, а1, …, аn и b – непрерывные функции, и рассмотрим уравнение

,

которое совпадает с уравнением

Это уравнение (в случае b(t) 0) называется неоднородным линейным уравнением порядка n. Соответствующая этому уравнению система имеет вид

, (6.14)

где А – матрица (6.2) и - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме последнего, который равен b/а0. Таким образом, соответствующая уравнению Lnх = b(t) система (6.14) есть линейная неоднородная система; существование и единственность решения для системы (6.14) обеспечивает, как обычно, существование и единственность решения для уравнения Lnх = b(t).

Теорема 6.4. Если φ1, …, φn – фундаментальное множество для однородного уравнения

( на I),

то решение ψ неоднородного уравнения

Lnх = b(t) ( на I),

удовлетворяющее условию

(, |ξ| < ),

имеет вид

(6.15)

где - решение уравнения Lnх = 0, для которого , и Wk(φ1, …, φn) –определитель, получаемый из W(φ1, …, φn) в результате замены k-го столбца на (0, …, 0, 1).

Доказательство. В силу (3.1) первая компонента ψ = ψ1 вектора-решения системы (6.14), для которого = 0, имеет вид

где - элемент, находящийся на пересечении первой строки и n-го столбца матрицы Ф(t)Ф-1(s). Напомним, что на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы Ф(t) стоит элемент и что det Ф(t) = W(φ1, …, φn)(t). Далее, на пересечении i-й строки и n-го столбца матрицы Ф-1 стоит элемент

где - алгебраическое дополнение элемента в Ф. Поэтому

где Wk(φ1, …, φn)(s) определен в формуле теоремы. Таким образом, решение ψ уравнения Lnх = b(t) , удовлетворяющее условию = 0, имеет вид

и очевидно, что (6.15) дает решение, удовлетворяющее условию , если .

Линейное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Рассмотрим тот случай, когда в Ln все коэффициенты а0 = 1, а1, …, аn – постоянные. В этом случае можно предполагать, что I есть вся числовая ось. Далее, уравнению

(6.16)

соответствует система

(6.17)

где А – постоянная матрица

(6.18)

Можно предполагать, что для (6.16) можно указать фундаментальное множество решений, и точный вид этих функций зависит от характеристического многочлена f(λ) = det (λE - A) постоянной матрицы А в (6.18).

Лемма. Характеристический многочлен для матрицы А в (6.18) имеет вид

f(λ) = λn + а1 λn-1 +…+ аn. (6.19)

Заметим, что f(λ) может быть получено из Ln(х) формальной заменой х(k) на λk.

 Скачать реферат