Линейные дифференциальные уравнения

Так как det Фm 0, то из первых m уравнений (2.8) можно выразить производные (i = 1, …, m) через φij , aik и yk (k = m+1, …, n), и затем эти значения подставить в остальные форм

улы (2.8). Мы получим совокупность уравнений первого порядка, которым удовлетворяют функции yi (i = m+1, …, n) вида

(i = m+1, …, n), (2.9)

т.е. линейную систему порядка n-m.

Рассуждая в обратном порядке, предположим, что , …, ( имеет компоненты (i, j = m+1, …, n)) есть фундаментальная система решений на для системы (2.9). Пусть - матрица с элементами (i, j = m+1, …, n). Очевидно, что det 0 на . Для каждого j = m+1, …, n пусть (i = 1, …, m) определяется с помощью квадратур уравнений

(2.10)

(i = 1, …, m; p = m+1, …, n).

Пусть (p = m+1, …, n) обозначает с компонентами (i = 1, …, n) и пусть (p = 1, …, m). Так как (p = m+1, …, n) удовлетворяют системе (2.9) и первым m уравнениям (2.8), то они должны также удовлетворять остальным n-m уравнениям (2.8), и поэтому (p = m+1, …, n) являются решениями системы (2.8). таким образом, если Ψ – матрица со столбцами (p = m+1, …, n) и

Ф=U Ψ,

то Ф есть матрица-решение (ЛО) на I. U – неособая матрица.

Так как det =det на , то Ф есть неособая матрица на и, следовательно, является фундаментальным решением для системы (ЛО) на I.

Теорема 2.5. Пусть φ1 , φ2 , …, φm (m < n) – m известных линейно независимых решений системы (ЛО), причем φj (j = 1, …, m) имеют компоненты φij (i = 1, …, n). Предположим, что определитель матрицы с элементами φij (i, j = 1, …, m) на некотором подинтервале интервала i не обращается в нуль. Тогда с помощью подстановки (2.7) задачу определения n линейно независимых решений системы (ЛО) на можно свети к решению системы (2.9)порядка n-m и к квадратурам (2.10).

Избавимся теперь от ограничения, что матрица Фm неособая на некотором интервале. Ясно, что прямоугольная матрица с элементами φij (i = 1, …, n; j = 1, …, m) имеет ранг m в силу независимости решений φj (j = 1, …, m). Таким образом, для каждого t = t0 существует неособая квадратная матрица порядка m, которую мы получим, выбирая m строк i1, …, im из прямоугольной матрицы с n строками и m столбцами. В силу непрерывности эта матрица неособая на некотором интервале .

Хорошо известно и легко доказывается, что существует такая постоянная неособая матрица Т, применив которую к любому вектору х с n компонентами, получим матрицу Тх, имеющую своим m первыми компонентами компоненты вектора х с номерами i1, …, im. Полагая =Тх, мы заменим (ЛО) аналогичной системой, для которой выполняется первоначальное ограничение. Так как х=Т-1, то утверждение для х следует из доказанного уже утверждения для .

1.3 Неоднородные линейные системы

Пусть А – неособая квадратная матрица порядка n из непрерывных функций, определенных на действительном t-интервале I и b – непрерывный вектор на I, не равный тождественно нулю. Система уравнений

+b(t) (ЛН)

называется линейной неоднородной системой порядка n. Если элементы А и b непрерывны и даже измеримы и мажорируются суммируемой функцией на I, то существует единственное решение φ системы (ЛН), для которого

φ(τ) = ξ ,

где и | ξ | < . Единственность решения следует из того, что если бы существовало два решения φ1 и φ2, то из разность φ = φ1 - φ2 была бы решением однородной системы (ЛО) на I при φ(τ) = 0. Но, по теореме единственности для (ЛО), разность φ должна равняться на I нулю тождественно и, следовательно, φ1 = φ2.

Если известна фундаментальная матрица Ф системы (ЛО), то легко найти решение системы (ЛН).

Теорема 3.1. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то функция

(3.1)

есть решение системы (ЛН), удовлетворяющее начальному условию

φ(τ) = 0 ().

Доказательство получается непосредственно при помощи прямой проверки.

Интуитивные соображения, с помощью которых можно получить выражение (3.1), заключаются в следующем6 для каждого постоянного вектора с функция Фс является решением системы (ЛО). Метод состоит в том, что мы рассматриваем с как функцию, определенную на I, и находим, какой должна быть с (если она существует), для того, чтобы функция φ = Фс была решением неоднородной системы (ЛН).

 Скачать реферат