Нормированные пространства

Содержание.

Введение……………………………………………………………………….2

Глава I. Нормированные пространства………………………………… 3

§1. Понятие нормированного пространства 3

§2. Пространства суммируемых функций………………………… .5

§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса……………………………… 7

Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций

….11

§1. Теорема Марцинкевича и ее применение…………………… .11

§2.Теорема Рисса–Торина и ее применение ………………………15

Глава III. Пространства суммируемых последовательностей… … 24

§1. Основные понятия……………………………………………….24

§2. Связь между коэффициентами Фурье -периодической функции и ее нормой в …………….……………………………25

Литература……………………………………………………………… .28

Введение.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С.Банахом в 20-х годах 20 века. В работе эта теория прилагается к изучению суммируемых функций и последовательностей с позиций функционального анализа. Эти функции и последовательности образуют нормированные пространства, на которых вводятся операции сложения и умножения на число, а также норма.

Основным объектом классического функционального анализа являются операторы, действующие из одного банахова пространства в другое.

Целью данной работы является рассмотрение линейных операторов, действующих из одного пространства суммируемых функций в другое, а также в пространство суммируемых последовательностей.

Основные понятия нормированных пространств изложены в первой главе.

Вторая глава посвящена интерполяции в пространствах измеримых функций. Рассмотрена теорема Марцинкевича, являющаяся одной из классических в теории интерполяции, и дано ее подробное доказательство. Приводится доказательство непрерывности оператора свертки с использованием данной теоремы. Также рассмотрена интерполяционная теорема Рисса – Торина и ее применение.

В третьей главе даны основные понятия пространства суммируемых последовательностей, доказана связь между коэффициентами Фурье - периодической функции и ее нормой в при помощи теоремы Марцинкевича.

Глава I. Нормированные пространства.

§1. Понятие нормированного пространства.

Введем основные понятия теории нормированных пространств.

Определение. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Ι. Для любых двух элементов однозначно определен элемент, называемый их суммой, причем

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

3. В существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

1. ;

2. для любого и любого числа ;

3. для любых (неравенство треугольника).

Определение. Оператором называется отображение , где - это линейные пространства.

Определение. Оператор называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:

.

Определение. Пусть - линейные нормированные пространства,

– линейный оператор,.

Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что следует, что .

Определение. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение. Линейный оператор называется ограниченным, если .

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

 Скачать реферат