Алгебра октав

= k1 - b/ и (аb) = (а(k1+ b/))(k1- b/) = k2а - (ab/)b/ = k2а + (аb/)/.

Так как по доказанному выше:

(аb/)/.= ( src="images/referats/3160/image209.png">/,/)а, то (аb) = k2a + (b/, b/)a = [k2 + (b', b')]a = (b, b)a,

так как

(b, b) = (k1+ b/, k1+ b/) = k2(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k2 + (b', b')

в силу того, что (1, 1) = 1 и (b/ , 1) = 0, так как b/ 1.

Следствие 1. В нормированной линейной алгебре с единипей имеет место равенство

(ах)+(ау) = 2(х,у)а. (8)

Подставим в тождество (5) вместо b сумму х + y. Тогда

(а(х + у))() = (х + у, х + у)а (а(х + у))( +) = ((х, х) + (у, у) + 2(х, у))а (ах) + (ау) + (ах)+ (ау)= (х, х)а+(у, у)а + 2(х, у)а.

В силу тождества (5):

(ax)= (х, х)а, (ау)= (у, у)а.

Тогда:

(ах) + (ау) = 2(х, у)а,

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Нормированная линейная алгебра с единицей является альтернативной линейной алгеброй.

Если в равенстве (5) (ab) = (b, b)a положить а = 1, то получается b= (b, b)l = (b, b). Тогда (ab) = a(b), откуда следует, что (ab)b = a(bb).

Аналогично можно доказать, что b(ba) = (bb)a.

Отсюда следует, что алгебра является альтернативной линейной алгеброй.

п. п. 6.2 Теорема Гурвица

Пусть - линейная алгебра с единицей. Согласно Лемме 1 каждый элемент а А однозначно представляется в виде

а = k1+ а', где k R и а' 1.

В алгебре введем операпию сопряжения: элемент, сопряженный элементу а, есть элемент ā = k1- а' Если а = kl, то а' = 0 и ā = k1, т.е. ā = а. Если же а 1, то ā = - а.

Имеют место:

а) ā = а;

б) () = = = (k+l)1-(a/ + b/) = (k1 – a/)(l1 – b/).

Пусть - подалгебра алгебры ,содержащая 1 и не совпадающая с .Выберем в В базис 1, i1, i2, … in, такой, что i1 1, i21, … in 1. Тогда любой элемент b B имеет вид: b = bо + b1i1 + b2i2 + … + bnin , а сопряженный ему элемент b = b0 - b1i1 - b2i2 - … - bnin, откуда и В.

Пусть е - единичный элемент, ортогональный В, т.е. для любого b В имеет место e b.

Рассмотрим множество В + Be = {b1 + b2e|b1, b2 В}. Покажем, что есть снова подалгебра алгебры .

Лемма 4. Подпространства иортогональны друг другу, т.е. для любых u1, u2 B имеет место u1u2e.

Для доказательства этого факта в тождестве (1) положим вместо

а1 = u1, b1 = u2, a2 = e, b2 = 1.

Тогда

(u1u2, e) + (u1, eu2) = 2(u1, e)(u2, 1).

Так как u1, u2 В, то u1u2 В, а тогда u1u2 e, u1 e.

Значит,

(u1, u2e) = 0, (u1, e) = 0.

Тогда:

(u1, u2e) = 0, т.е. u1 u2e.

Теорема 1.

Представление любого элемента из В + Be в виде u1+ u2e, где u1, u2 В, единственно.

Пусть

u1 + u2e = u1/ + u2/e u1 - u1/ = (u2/ - u2)e,

откуда следует, что v=u1 - u1/ принадлежит одновременно двум ортогональным подпространствам В и Be. Тогда (v, v) = 0, откуда v = 0. Следовательно, u1 - u1/ = 0 и (u2/ - u2)e = 0. Из второго равенства либо u2/ - u2 = 0, либо е = 0. Но е ≠ 0, следовательно, u2/ - u2= 0. Тогда u1 = u1/ и u2 = u2', т.е. представление элемента из В + Be в виде u1 + u2e единственно.

 Скачать реферат