Алгебра октав

bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, aR, то

w2 = (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2- b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 +2a w/.

Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w2 = а2 не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида

w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

могут

обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a ,aR, w/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава = а –p /.

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что

(u; v)-1 = ; -.

Так как (и; v) = и + ve, то тогда

(и + ve)-1 = -.

Если

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,

это означает, что

(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1== ,

если

w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.

Итак, октава, обратная октаве w, есть октава .

Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:

(ww1) 1 = w(w11).

Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1 v, v1 K, Тогда:

(ww1)1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(ū1 - v1e) = ((uu1 -v)+ (v1u+ v ū1)e)(ū1 - v1e) = ((uu1 -v)ū1+ (v1u+ v ū1))+(-v1(uu1 -v)+ (v1u+ v ū1)1)e = (uu1 ū1 -vū1+ v1u+ vū1) +(-v1uu1 +v1v + v1u u1+ vū1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.

< ><С другой стороны,

w(w11) = w|w1|2.

Сравнивая правые части этих равенств, получаем:

(ww1) 1 = w(w11).

Покажем также, что в алгебре октав имеет место равенство:

1(w1w) = (1w1)w).

Действительно,

1(w1w) = (ū1 - v1e)((u1+ v1e)(u+ve)) = (ū1 - v1e) ((u1u -v1 )+(vu1+ v1ū)e) = (ū1(u1u--v1 ) – ()(-v1))+((vu1+ v1ū)ū1 - v1())e = (ū1(u1u-v1 ) + (ū1+ u)v1) + ((vu1+ v1ū)ū1 - v1(ū ū1 - v))e= (ū1u1u- ū1v1 + ū1v1+ uv1) + (vu1 ū1+ v1ūū1 - v1ūū1 - v1v)e =(|u1|2u + u|v1|2)+(v|u1|2 + |v1|2v)e = (|u1|2+ |v1|2)u + (|u1|2 + |v1|2)ve = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w..

С другой стороны,

(1w1)w = |w1|2w.

Сравнивая правые части этих равенств, получаем:

1(w1w) = (1w1)w.

Рассмотрим уравнение wх = w1, где

w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.

- известные октавы, а х - неизвестная октава. Умножим слева это уравнение на , w ≠ 0. Тогда:

(wх) = w1 (w)х = w1 |w|2 х = w1 х = w1 .

В этом случае октава х называется левой частной от деленияоктавы w1ww на октаву w.

Аналогично, решением уравнения yw = w1 является

yy y = w1,

называемый правым частным от деления октавы w1ww на октаву w.

Найдем квадратный корень из октавы

ww w = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK.

Значение квадратного корня из этой октавы будем искать как октаву

θ= x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK ,

где x, y, z, t, X, Y, Z, T R, удовлетворяющий условию θ 2 = w. Следовательно,

(x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK)( x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK) = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK x2 – y2 – z2 – t2 -X2 – Y2 – Z2 – T2+ 2xyi + 2xzj + 2xtk + 2xXe + 2 xYI +2xzj + 2xtk = = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK

 Скачать реферат