Алгебра октав

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2)) = (u1; v1) (u2 u2 - 2v2; v2 u2 + v2 ū2) = (u1(u2

u2 - 2v2) –()v1;

v1 () + (v2 u2 + v2 ū2) u1) = (u1u2 u2 - u12v2 –v1 – u22v1;

v1- v12v2 + v2 u2 u1+ v2 ū2 u1) = (u1 u2 u2 - (u2 + ū2) 2v1 – u1|v2|2; (u2 + ū2) v2u1 + v1- v1|v2|2).

Здесь следует учитывать, что 2v2 = v22 = |v2|2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = ((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = (u2; v2) (u2u1 - 1v2; v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1 u2 - 2v1) – v2;

(v1 u2 - v2 ū1) u2 + v2 ) = (u2u1 u2 - u21v2 –v2 - u12v2; v1u2u2 + v2 ū1 u2 + v2 - v22v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + ū2) 1v2; v1u2u2 + v2 ū1(u2 + ū2) - |v2|2 v1).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1) = (u2 u2 - 2v2; v2 u2 + v2 ū2) (u1; v1) = ((u2 u2 - 2v2) u1 - 1(v2 u2 + v2 ū2);

v1(u2 u2 - 2v2) + (v2 u2 + v2 ū2) ū1) = (u2 u2 u1- 2v2 u1 - 1v2 u2 - 1v2 ū2; v1u2 u2 - v12v2 + v2 u2 ū1 + v2) = u2 u2 u1 - 1v2(u2 + ū2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1 (u2+ ū2).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в решим уравнение:

(u; v) (x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:

(u; v) (х; у) = (u; v) (хu - y; уи + v) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=,откуда:

(u-1 u) x = u-1v+ u-1ux = v =1+ уи.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v(1+ уи) + уи = vv+ v уи+ уи = vуи+уи=0 (+1)уи=0,

 Скачать реферат