Алгебра октав

§7. Обобщенная теорема Фробениуса

Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.

Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а =13 height=13 src="images/referats/3160/image008.png">A пропорционален 1, то ā = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре . В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент ā, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре .

Из определения ā непосредственно следует, что = а, а также =kā, где k R.

Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, .R, .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент ā. Покажем, что а совпадает с ā.

Элементы а и ā, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+ā = 2а* 1, где а R, (14)

а* ā = d*1, где d R. (15)

Элементы а и ā, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+ ã = 2а1* 1, где а1 R, (14')

а * ã = d1 *1, где d1 R. (15/)

Вычтем из (14) и (15) соответственно (14/) и (15'). Тогда:

ā - ã = 2(a – a1)*1.

а (ā - ã) = (d- d1)* 1 2(a – a1)a*1.= (d- d1)* 1.

Если

a(ā - ã), то a = *1,

т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры .

Точно так же |а|2 = аā как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры , так , что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры .

Тогда для любых a, b А справедливы равенства:

=ā+ и = ā *. (16)

Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры .

Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что = bā, откуда

a+ bā = с* 1, где с R.

Определим в (A, +, .R, .) скалярное произведение (а, b) как

a+ bā = 2(а, b) * 1.

Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:

1) (а, а) > 0 при а ≠ 0 и (0, 0) = 0.

В самом деле,

(а, а) * 1 = (аā + аā) = аā = |а|* 1,

а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а ≠ 0 и равен 0 при а = 0.

2) (a, b) = (b. а), так как

a+ bā = 2(a, b)* 1, bā + a= 2(b, a)* 1,

но

a+ bā = bā + a, тогда (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) при k R.

Действительно,

(a, kb) = (a() + kbā) = (a(k) + kbā) = k(a+ bā) = k(a, b).

4) (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2)

следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).

Из (а, а) = |а|2 1 следует, что = |а|, т.е. норма элемента a А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.

Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то

|ab|2 = |a|2 |b|2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.

 Скачать реферат