Алгебра октав

Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨve1 = Ө(uve1) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w);

Ф(w-1)=Ф((u+ve)-1)=Ф(Өth=79 height=45 src="images/referats/3160/image050.png">e)= (Ө e) = Ө e = (uve1)-1 = (Ф(u+ve)Ө1) = (Ф(w)) Ө1.

Следовательно, отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры в (U1, ,, e1 ).

Покажем, что отображение Ф инъективно:

Ф(w1)=Ф(w2) Ф(u1+v1e) = Ф(u2+v2e) u1v1e1 = u2v2e1 u1=u2v1=v2 u1+v1e= u2+v2ew1= w2.

Сюръективность отображения Ф очевидна, так как

(qU1) (u,vK)p= uve1(u+ve = wU) Ф(w) = p.

Итак, отображение Ф есть изоморфизм алгебры на алгебру (U1,,,e1) и, следовательно, система аксиом алгебры октав категорична ввиду изоморфности произвольных ее моделей.

§2. Дополнительные сведения об октавах

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы установили, что любую октаву можно представить в виде:

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R и i2 = j2 = k2 = e2=I2= j2 = k2 = -1,

причем iе = I, je = J, ke = К по обозначению.

Через пары эти мнимые единицы выражались следующим образом:

i=(i; 0), j=(j; 0), k=(k; 0), e=(0; 1), I=(0; i), j=(0; j), k=(0; k).

Вычислим другие произведения мнимых единиц:

iI = (i; 0)(0; i) = (i0 – ī0; ii + 0) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;