Алгебра октав

в силу того, что *1 ūe, то

((ve))(-ūe) +((ve)(ūe))w = 0.

Применив равенства (9) и (10), получаем:

u(vw) - (uv)w = 0, откуда (uv)w = u(vw).

Замечание: Так как алгебра th=73 height=25 src="images/referats/3160/image178.png">содержит единицу, то в ней имеется подалгебра, состоящая из элементов вида k1, где k R. Эта подалгебра изоморфна алгебре действительных чисел, обозначим ее D. Если в предыдущих рассуждениях в качестве В взять подалгебру D, то е будет любой вектор длины 1, ортогональный к 1.

Из формулы (13) тогда следует, что

е2 = (0 +1* е)(0 +1* е) = (0* 0 - * 1) + (1* 0 + 1*)е = -1 + 0* е = -1.

Отсюда можно сделать вывод, что квадрат любого вектора a1 1 равен 1, где ≤ 0.

Докажем и обратное: если квадрат какого-либо элемента равен 1, где ≤ 0, то этот элемент ортогонален 1. В самом деле, квадрат любого элемента, не ортогонального 1, т.е. элемента вида а = k1+a/ где k ≠ 0 и a/ 1, равен

(k1+ a/)(k1 + a/) = k21 + а'2 + 2ka/ = k21 + 1 + 2k a/.

Если это выражение пропорционально 1, то а/ = 0, следовательно, а = kl, но квадрат k1 не может равняться 1, где ≤ 0.

Отсюда следует, что элементы, ортогональные 1, и только они характеризуются тем свойством, что их квадраты равны 1, где ≤ 0. Тогда для произвольного элемента а А берется его единственное представление в виде

а = k1+a/, где а/2 = 1 и≤ 0,

а сопряженный ему элемент в виде ā = k1 - a'

Теорема Гурвица. Любая нормированная линейная алгебра, с единицей над полем действительных чисел изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплексных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.

Пусть - нормированная линейная алгебра с единицей над полем действительных чисел, а - ее подалгебра, содержащая 1, е B, где е - единичный вектор. Как мы показали ранее, является подалгеброй алгебры (A, +, .R, .). Из теорем 1 и 2 следует, что.изоморфна удвоенной подалгебре .

Рассмотрим подалгебру , изоморфную полю действительных чисел (R, +, .). Если она не совпадает со всей алгеброй ,то найдется единичный вектор е D. Составим подалгебру , изоморфную удвоению , а следовательно, изоморфную полю комплексных чисел. Назовем ее комплексной подалгеброй алгебры . Из того, что сказано выше о сопряжении в алгебре , вытекает , что для элементов из D + De сопряжение совпадает с обычным сопряжением комплексных чисел.

Если, в свою очередь, подалгебра ,где С = D + De, не совпадает со всей алгеброй ,то опять-таки найдется единичный вектор е/ С. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную телу кватернионов. Назовем ее кватернионной подалгеброй алгебры. Из вышесказанного о сопряжении в алгебре следует, что для элементов из С+Се/ сопряжение с впадает с обычным сопряжением в теле кватернионов.

Если, в свою очередь, подалгебра , где К = C+Ce', не совпадает со всей алгеброй , то снова найдется единичный вектор е" K. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную алгебре октав.

Но эта подалгебра , где U = К + Ке// совпадает уже c самой алгеброй ,так как по теореме 3 любая подалгебра алгебры , содержащая 1 и не совпадающая со всей алгеброй , ассоциативна. А так как умножение октав не ассоциативно, а в ее подалгебре (теле кватернионов) оно ассоциативно, то подалгебра совпадает со всей алгеброй .

Резюмируя вышеизложенное, мы получаем, что если алгебра не изоморфна ни одной из алгебр , или , то она изоморфна алгебре октав ,что и доказывает утверждение теоремы Гурвица.

 Скачать реферат