Алгебра октав

Проверим равенство:

(ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1).

Действительно,

(ww1, ww1) = (( ww1)() + (ww1)()) = (( ww1)(23 src="images/referats/3160/image096.png">1) + (ww1)(1)) = (ww1)(1) = w(w11) = | w1 |2* w11 = | w |2 * | w1 |2 = (a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) * () = (w, w)(w1, w1).

Итак, все условия скалярного произведения при

(w, w1) = (w1+w1)

для октав w и w1 выполнены.

Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебре имеет место тождество:

(a1b1,a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(а1, a2)(b1, b2). (1)

Подставим в основное тождество () данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a1 + а2, а вместо у - элемент b. Тогда:

((a1 + а2)b, (а1 + a2)b) = (a1 + а2, а1 + а2)(b, b)

(a1b + a2b, a1b + a2b) = (a1+a2, a1+a2)(b, b)

(a1b + a2b, a1b) + (a1b + a2b, a2b) =

(а1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b) + 2(a1, a2)(b, b)

(a1b, a1b) + (a2b, a2b) + 2(а1b, a2b) =

(a1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b)+2(a1, a2)(b, b). (2)

Но в силу условия ():

(a1b, a1b) = (a1, a1)(b, b); (a2b, a2b) = (a2, a2)(b, b).

Тогда из (2) следует

(a1b,a2b) = (a1, a2)(b, b). (3)

Заменим в (3) b на сумму b1 + b2:

(a1(b1 + b2), a2(b1 + b2)) = (a1, a2)(b1 + b2, b1 + b2)

(a1b1+a1b2, a2b1+a2b2) = (a1, а2)((b1, b1)+(b2, b2)+2(b1, b2))

(a1b1, a2b1) + (a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) + (a1b2, a2b2) =

(a1, a2)(b1, b1) + (a1, a2)(b2, b2) + 2(a1, a2)(b1, b2). (4)

Но в силу (З):

(a1b1, a2b1) = (a1, a2)(b1, b1); (a1b2, a2b2) = (a1, a2)(b2, b2).

Тогда из (4) следует

(a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(a1, a2)(b1, b2),

что и требовалось доказать.

Лемма 3. В нормированной линейной алгебре с единицей имеет место равенство

(аb)= (b, b)а. (5)

Докажем это равенство для случая b 1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k = 0. В этом случае

= - b.

Рассмотрим элемент с = (ab) - а, где = (b, b).

В силу свойств скалярного произведения имеем:

(с, с) = ((аb) - а, (аb) - а) =((аb) , (ab) ) + 2(a, а)- 2((ab) , а). (6)

Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6):

((аb) , (ab) ) = (ab, аb)( , ) = (а, а)(b, b)( , ) = (a, а)(b, b)2 = 2(а, а).

Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде:

(а1b1, а2Ь2) = 2(а1, a2)(b1, b2) - (a1b2, a2b1).

Положив a1 = ab, b1 = , a2 = a, b2 = 1, получим:

((аb) , a) = 2(ab, а)( , 1) - (ab, а). (7)

Так как

b1, то (, 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0.

Далее:

-(ab, а) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) = (а, а).

Тогда:

((аb) , а) = (а, а).

Отсюда в равенстве (6) получаем:

(с, с) = 2(а, а) + 2(а, а) - 22(а, а) = 0.

Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab) - а = 0, откуда

(аb) = а = (b, b)a.

Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b/, где b/ 1. Тогда

 Скачать реферат