Алгебра октав

2) (p, q) = (p+ q) = ( q+ p) = (q; p);

3) (p, kq) = (p+(kq) ) = k(p+ q) =k(p, q);

4) (p, q1+q2) = (p+(q1+q2) ) = (p1+ p2+ q1+ q2) =(p1+ q1) + (p2+ + q2) = (p+q1)+(p+q2).

Проверим равенство:

(pq, pq) = (p, p)(q, q).

В самом деле,

(pq, pq) = ((pq) * () + (pq) * ()) = ((pq) * () + (pq) * ()) = (pq) * () = p(q)= |q|2 p=|p|2 + |q|2 = (a2 + b2 + c2 + d2)* () = (p,p ) (q, q).

Итак, все условия скалярного произведения при

(p, q) =(p+ q)

выполнены для кватернионов р и q.

Пример 3. Пусть - алгебра октав. Базисом в U являются 1, i, j, k, e, I, J, K.

Если

w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1 J+D1K,

то по свойству 6) сопряженных октав

w+w1=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).

Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w1 выражение

(w+w1) =aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD.

Итак,

(w, w1) = (w+w1).

В частности,

(w, w) = (w+w) = w= | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 .

Проверим выполнение условий скалярногопроизведения:

1) (w, w) = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ≥ 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 a= 0b= 0 c= 0d= 0 A = 0b= 0 c= 0d= 0 w = 0;

2) (w, w1) = (w1+w1) = (w1+w1) =(w1, w);

3) (w, kw1) = (w(1)+(kw1)) = k(w1+w1) =k(w1, w);

4) (w, w1+ w2) = (w+(w1+w2) ) = ( w1 + w2+ w1+ w2) = (w1 + w1) +(w2+w2) = (w, w1)+( w, w2).

 Скачать реферат