Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

N = A + B,

где: А и В – простые числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

- количес

тво членов прогрессии равно N;

- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую Vи убывающуюUарифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n– четное число:

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

Исходя из этого для числа N при n– четном запишем:

V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

При этом:

V0i + U0i = N,

где V0iи U0i- i – тые члены прогрессий V0 иU0.

Приn– четном количество членов прогрессии V0равно количеству членовпрогрессииU0и равно:

K= 0,5∙n = 0,25·N. /1/

Напишем возрастающую Vи убывающуюUарифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n– нечетное число:

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V3 = [0,5 … N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

Исходя из этого для числа N при n– нечетном запишем:

V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U0 = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].

При этом:

V0i + U0i = N,

где V0iи U0i- i – тые члены прогрессий V0 иU0.

Приn–нечетном количество членов прогрессии V0равно количеству членовпрогрессииU0и равно:

К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2). /2/

Количество пар чисел V0i + U0iпрогрессий V0 иU0равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Zpv – количество простых чисел в прогрессии V0;

Zsv -- количество составных чисел в прогрессииV0;

Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U0;

Zsu-- количество составных чисел в прогрессии U0;

Пs/v – количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии U0и простыхчисел прогрессииV0;

Пs/u– количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии V0 и простыхчисел прогрессии U0;

Пр -- количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из простыхчисел прогрессий V0и U0.

Очевидно, что:

П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu ; /3/

Zsv = K - Zpv; Zsu= K - Zpu.

Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N≤ 116: Zpv> Zsu; Zpu > Zsv;

- для чисел N = 118…136: Zpv=Zsu; Zpu = Zsv;

- для чисел N≥138: Zpv<Zsu; Zpu < Zsv.

Составим прогрессии V0иU0для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu, Пs/v, Пs/u, Пр и соотношения между ними как для прогрессий V0иU0в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 –четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0iравно:

П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.

V0 ={ V01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V02 =[ 15 17 19 21 23] V03=[25 27]

U0 ={U01 = [119 117 115113 111 109107 ] U02 =[105 103101 99 97 ] U03=[95 93]

Пр* * * * * *

V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06= [ 37 39 41 43 45 47 ] V07= [ 49 51 53]

U04= [ 91 89 ] U05= [ 87 85 ] U06= [ 83 81 79 77 75 73 ] U07= [ 71 69 67]

Пр * * * * *

V08 = [ 55 57 59 ] }.

U08 = [ 65 63 61 ] }.

Пр *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V0 и U0в целом имеем:

Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5, Пs/v ≠ Пs/u ,

Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 12.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 17 – 5 = 12;

Ru = Zpu - Пs/u = 13 – 1 = 12.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует:

Rv =Ru = Пр = 12.

Для подпрогрессий V01 иU01 имеем:

Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠ Пs/u,

Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 6 – 3 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V02 иU02 имеем:

 Скачать реферат