Нормированные пространства

2>
							h(x)

Нужно показать, что , т.е. .

I. Для функции

1) если 0<t , то , т.к.

2) Пусть t>1.

Обозначим , .

. Конечность доказана в первом случае. Рассмотрим второй интеграл.

Покажем, что . Предположим противное, что .

, т.к. . С другой стороны, . Но на , т.е. , а это противоречие. Получили, что конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Тогда .

II.для функции :

1) если , то .

2) Пусть .

Пусть

. Конечность доказана в первом случае. Нужно показать, что конечен.

Докажем, что . Предположим противное, что .

().

С другой стороны . Но , т.е.

. Пришли к противоречию.

Получили, что конечна и т.к. интеграл от ограниченной функции по конечной мере конечен, то . Следовательно, . Предложение доказано.

Следствие. Для всех справедливо включение: .

Замечание 2. Пусть оператор задан на пространстве и на . Тогда оператор можно распространить с сохранением линейности до оператора, действующего из пространства

т.е. для любой функции

Такое определение функции не зависит от выбора и Действительно. Возьмем другое представление функции :

, где т.е.

Нужно доказать, что .

Из условия следует . Левая часть равенства – это функция из правая часть - из Применим к равенству оператор T:

. Так как T линеен в пространствах и , то . Отсюда , что и требовалось доказать.

Теорема Марцинкевича. Если линейный оператор Т имеет слабый тип и одновременно слабый тип , то Т имеет тип для любого из интервала

 Скачать реферат