Разностные схемы для уравнений параболического типа

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image002.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image004.gif, width=15 height=23 id="Рисунок 3" src="images/referats/3093/image003.png" alt="http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image006.gif"> http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image008.gif, (3.5)

с условием на прямой t=0

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image010.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image004.gif. (3.6)

Требуется найти функцию http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image013.gif, которая при http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image008.gif и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image004.gif удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image017.gifвыполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image013.gif, непрерывное вместе со своими производными

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image020.gif, i=1, 2 и http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image022.gif, k=1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image024.gif. Для этого достаточно положить

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image026.gif

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image028.gif

Будем далее считать, что t изменяется в пределах http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image030.gif. В рассматриваемом случае

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image032.gif,

Г − объединение прямых t=0 и t=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image034.gif сеточной областью http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image036.gif. К области http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image036.gif отнесем совокупность узлов http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image038.gif, где

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image040.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image042.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image044.gif,

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image046.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image048.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image050.gif, http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image052.gif.

Заменим задачу http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image024.gif разностной схемой вида http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image055.gif. Обозначим через http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image057.gif точное значение решения задачи http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image024.gif в узле http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image060.gif, а через http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image062.gif – соответствующее приближенное решение. Имеем

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image064.gif

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image066.gif

Для замены выражений http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image068.gifи http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image070.gifвоспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image072.gif, (3.7)

Страница:  1  2  3  4 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2021 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы