Нормированные пространства

Далее распространим меру и на бесконечные объединения сегментов. Для того, чтобы при этом не встречались множества «бесконечной меры», ограничимся рассмотрением множеств, целиком принадлежащих отрезку . На совокупности всех таких множеств определим две функции и dth=43 height=23 src="images/referats/648/image467.gif">:

Определение. Верхней мерой множества называется число, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами сегментов.

Определение. Нижней мерой множества называетсячисло .

Определение. Множество называется измеримым, если . Их общее значение называется лебеговской мерой.

Итак, распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс множеств, называемых измеримыми, замкнутый относительно операций взятия счетных сумм и пересечений. Построенная мера является на этом классе множеств - аддитивной, т.е. если - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и , то .

Однако, мы рассмотрели лишь те множества, которые являются подмножествами .

Нетрудно освободиться и от этого ограничения. Представив всю числовую ось как сумму отрезков ( - целое), будем говорить, что множество измеримо, если его пересечение с каждым из этих отрезков измеримо, и ряд сходится. При этом положим по определению, .

Причем совокупность множеств, измеримых относительно данной меры, также будет замкнута относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, а мера будет - аддитивна.

Определение. Меру , получающаяся с помощью такого построения, называют мерой Лебега – Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию называют производящей функцией этой меры.

 Скачать реферат