Нормированные пространства
Определение. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .
В частности, выполняется .
Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного
линейного оператора .
§2. Пространства суммируемых функций.
Среди различных классов нормированных пространств, встречающихся в анализе, один из важнейших - это пространство суммируемых функций. Далее будем рассматривать именно эти нормированные пространства.
Определение. Пусть – некоторое фиксированное измеримое множество из . Пространством , где , называется нормированное пространство, элементами которого служат функции , измеримые и почти всюду конечные на , для которых выполняется
Функции, эквивалентные друг другу на , не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства . В частности, нулевой элемент в – это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду.
Сложение элементов в и умножение их на числа определяются как обычные сложение и умножение функций. Точнее, поскольку каждый элемент в – это класс эквивалентных между собой функций, то для того, чтобы сложить два таких класса, нужно брать в них по представителю и потом суммой этих классов называют класс, содержащий сумму выбранных представителей. Результат не будет зависеть от выбора представителей в данных классах.
Определение. Число называется нормой функции
Будут выполняться все свойства нормы:
1. и почти всюду;
2.
3.
Первое свойство cледует из определения нормы и того, что
Второе – из свойства интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Третье свойство вытекает из неравенства Минковского: для любых функций
Определение. Функция называется ограниченной почти всюду, если существует неотрицательное число такое, что почти всюду выполняется неравенство . (*)
Определение. Пространством называется нормированное пространство, элементами которого служат почти всюду ограниченные функции . Нормой называется наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству (*).
Для выполняется почти всюду неравенство .
Через будем обозначать линейное пространство измеримых функций, заданных на R.
Среди линейных операторов, действующих в пространстве , рассмотрим следующие.
Определение. Оператор , действующий из пространства () в , называется оператором слабого типа (p,p), если
, где - мера множества, и оператором типа (p,p), если .
По определению оператор типа является ограниченным, что равносильно его непрерывности.
Предложение 1. Любой оператор типа есть оператор слабого типа .
Доказательство.
Нужно доказать, что .
Воспользуемся неравенством Чебышева: .
Возьмем любое положительное число . По неравенству Чебышева
. Но по условию .
Учитывая последнее соотношение, имеем , что и требовалось доказать.
§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса.
Далее понадобится понятие интеграла Лебега – Стилтьеса. Введем это понятие.
Определение. Пусть на Rзадана монотонно неубывающая функция , которую для определенности будем считать непрерывной слева. Определим меры всех сегментов, интервалов и полусегментов равенствами
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах