Нормированные пространства
Предложение 4. Множество простых функций всюду плотно в , т.е.
, такая, что
>,где
– простая функция.
Доказательство.
I.Обозначим , где
N.
![]() |
Ясно, что для почти всех . Тогда
для почти всех
. Следовательно,
.
С другой стороны, (*)
,т.е.
. Поэтому
суммируема. Применим теорему Лебега к неравенству (*) :
. Получим, что
и, значит, приблизили
функциями
. Возьмем произвольное положительное число
. Найдем функцию
такую, что
.
II. Приблизим ступенчатой функцией.
Обозначим , где
. Положим
.
По свойству интеграла Лебега для любого положительного найдется
, такое, что
. Это означает, что
.
Отрезок разобьем на
равных частей точками
так, чтобы
.
Обозначим
.
Рассмотрим функцию . Тогда
. Следовательно,
, т.е.
.
В результате нашлась простая функция такая, что
.
III. Таким образом, . Предложение доказано.
Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М.Риссом в 1926 году в виде некоторого неравенства для билинейных форм. Ее уточнение и операторная формулировка были даны Г.О.Ториным. Вся теория интерполяции линейных операторов первоначально развивалась в направлении обобщения этой теоремы. Дадим ее формулировку.
Теорема. Пусть . Оператор Т действует из пространства
в
с нормой
и одновременно из
в
с нормой
.Тогда Т будет непрерывным оператором из пространства
в
с нормой
, удовлетворяющей неравенству
при условии, что 0<t<1 и
;
.
Теперь рассмотрим приложение теоремы Рисса – Торина в доказательстве следующего факта.
Теорема. Пусть и для чисел
выполняется равенство
.Тогда свертка
.
Доказательство.
Нужно доказать, что , т.е.
. Зафиксируем произвольную функцию
из
. Докажем сначала требуемый результат для частного случая, когда функция g простая, а затем распространим на произвольные функции g.
I. Пусть функция простая.
1) Рассмотрим оператор свертки на множестве простых функций и проверим, что он типа , где
. В силу неравенства Гельдера
. Учитывая геометрический смысл
интеграла, получим
для любого действительного числа х. Тогда
. Так как
, то
, т.е. равна некоторому числу
. Таким образом,
. Следовательно, нашлась константа
, такая, что
. Это и означает, что оператор свертки Т на множестве простых функций типа
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах