Локальные формации с метаабелевыми группами

5) пустым, если для любой неединичной группы ;

6) -экраном, если для любой группы .

-экран при будем называть единичным экраном.

Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.

Пример 3.1. Пусть и – непустые формации, причем , а групповая функция такова, что для каждой нееденичной примарной группы и для любой непримарной группы . Тогда – однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.

Пример 3.2. Пусть – непустая формация, а групповая функция такова, что для любой нееденичной группы выполняются условия:

1) , если не имеет абелевых композиционных факторов;

2) , если имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.

Тогда – композиционный экран, не являющийся однородным.

Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран , достаточно каждому простому числу поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает .

Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран , нужно каждой простой группе поставить в соответствие некоторую формацию , а затем для любой группы положить , где пробегает все композиционные факторы группы .

Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечение любого непустого множества однородных экранов снова является однородным экраном;

2) пересечение любого непустого множества локальных экранов снова является локальным экраном;

3) пересечение любого непустого множества композиционных экранов снова является композиционным экраном.

Доказательство. Пусть экран является пересечением множества экранов . Предположим, что все экраны являются локальными, т.е. для любых и имеет место равенство:

где пробегает все примарные подгруппы группы . Тогда

а значит, – локальный экран.

Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянных экранов является примарно постоянным экраном.

Доказательство. Пусть – некоторая цепь экранов, – ее объединение, . По лемме 3.3 функция является экраном, причем ясно, что примарная постоянность влечет примарную постоянность экрана . Предположим, что все являются однородными экранами. Тогда, если – любая группа и , то . Следовательно,

что и доказывает однородность экрана .

Экраны формаций

Каждой групповой функции соответствует формация .

Лемма 3.5. является непустой формацией для любой групповой функции .

Определение 3.3. Пусть – некоторая формация. Если – такой экран, что , то формация называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что

– экран формации ,

 Скачать реферат