Локальные формации с метаабелевыми группами

Лемма 17 Для любого простого и любой формации нильпотентных групп класс является -замкнутой формацией.

Доказательство. По лемме

класс -замкнут. По лемме класс -замкнут и по теореме 1.1 является формацией.

Теорема 18 Пусть – локальная подформация формации , – максимальный внутренний локальный экран формации . Если для любого простого формация -замкнута, , то -замкнута.

Доказательство. Пусть . Ввиду теоремы 3.3 и леммы 4.5 , . Формация -замкнута. По лемме формация -замкнута. Теорема доказана.

Теорема Крамер 19 Любая локальная подформация формации является -замкнутой.

Доказательство. Пусть – локальная подформация формации . имеет внутренний локальный -экран . Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Тогда по теореме 3.3 для любого простого имеет место равенство . Так как , то по лемме формация -замкнута. Тогда по теореме формация -замкнута. Теорема доказана.

Следствие Дрк 20 Пусть группа имеет четыре сверхразрешимые подгруппы, индексы которых в попарно взаимно просты. Тогда сверхразрешима.

Заключение

В данной курсовой работе мы дали определение формации, произведения формаций, а также операций на классах групп. Познакомились с понятием экрана, радикального и корадикального классов. В работе рассмотрели ситуацию: конечные разрешимые группы с нормальной максимальной подгруппой, принадлежащей локальной формации формации всех групп с нильпотентным коммутантом. Рассматривали только конечные и разрешимые группы.

Теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления-теории формаций.

Литература

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.

2 Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.:Наука, 1969.

3 Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп. – Матем. сб., 1949, 25, №3, с. 321 – 346.

4 Шеметков Л.А. Формация конечных групп. – М. «Наука», 1978.

 Скачать реферат