Локальные формации с метаабелевыми группами

Рефераты / Математика / Локальные формации с метаабелевыми группами

тогда и только тогда, когда совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;

тогда и только тогда, когда width=19 height=17 src="images/referats/632/image084.gif">имеет нормальные подгруппы такие, что

тогда и только тогда, когда является расширением -группы с помощью -группы;

тогда и только тогда, когда имеет нормальную подгруппу такую, что

Если , то вместо пишут Обратим внимание на тот факт, что если – нормальные подгруппы группы , причем для любого , то Заметим еще, что операцию можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа прямого произведения называется подпрямым произведением групп если проекция на совпадает с Легко видеть, что тогда и только тогда, когда есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.

Определение 2.2. Класс называется замкнутым относительно операции или, более коротко, - замкнутым, если

Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно -замкнут и -замкнут. -замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. -замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он -замкнут (соответственно -замкнут).

Лемма 2.1. . Если класс групп содержит единичную группу и -замкнут, то

Доказательство. Относительно операций и утверждение очевидно. Пусть – произвольный класс групп. Ясно, что Если , то в найдется нормальная подгруппа такая, что . Группа имеет нормальную подгруппу такую, что и Но тогда Так как , то , а значит, Таким образом, , что и требуется.

Пусть . Если , то имеет нормальную -подгруппу такую, что Группа имеет нормальную -подгруппу такую, что . Так как и , то из -замкнутости класса следует, что . Значит, , т.е. . Обратное включение очевидно.