Локальные формации с метаабелевыми группами

Теорема 2.2. Для любого класса имеет место равенство:

Доказательство. Если , то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс является -замкнутым. есть класс и по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем

Последнее означает -замкнутость класса . Итак, – формация, содержащая , так как . Значит, . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.5. Для любых элементов группы выполняются равенства Если – подгруппы группы , то выполняются следующие утверждения:

1)

2) для любого гомоморфизма группы ; в частности, если группа из нормализует и , то нормализует и

Лемма 2.6 Пусть – подгруппа нильпотентной группы , причем . Тогда

Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном выполняется включение:

При это верно, так как , а значит, . Предположим, что включение (*) справедливо при некотором . Тогда, используя лемму 2.5, получаем

Тем самым (*) доказано.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если – такая подгруппа группы , что , то

Доказательство. Пусть – нильпотентная нормальная подгруппа группы , а – такая подгруппа из , что . Докажем индукцией по , что . Это верно, если . Поэтому будем считать, что . Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения

Очевидно, подгруппа нормализует и . Обозначим через подгруппу группы , порожденную подгруппами . Поскольку проекции на множители прямого произведения равны , то . Заметим еще, что , где нормальна в и нильпотентна как подпрямое произведение из .

Пусть – центр подгруппы , . Легко видеть, что , причем и поэлементно перестановочны; аналогично, и поэлементно перестановочны. Но тогда , абелева и нормальна в . Если , то , где , и если , то , что влечет . Следовательно, . Если абелева, то , и мы имеем

 Скачать реферат