Локальные формации с метаабелевыми группами
Доказательство. Если , то
Пусть
Если
, то
, а значит,
rc="images/referats/632/image144.gif">. Таким образом,
. Пусть
. Тогда
имеет такие нормальные подгруппы
, что
Группа
имеет такие нормальные подгруппы
, что
Так как
, то
, что и доказывает равенство
Лемма 2.3. Для любого класса имеет место включение
Доказательство. Если , то
. Пусть
и группа
является подпрямым произведением групп
, где
. Рассмотрим функцию
. Функция
является гомоморфизмом группы
в группу
. Ясно, что
есть подпрямое произведение групп , причем
. Следовательно,
, и лемма доказана.
Лемма 2.4.
В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.
Определение 2.3. Класс групп называется классом Фиттинга, если он одновременно
-замкнут и
-замкнут.
Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.
Определение 2.4. Пусть непустой
-замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через
и назовем
- радикалом группы
произведение всех ее нормальных
-подгрупп.
Классы являются радикальными.
-радикал группы
– это ее подгруппа Фиттинга
-радикал обозначают иначе через
и называют
-радикалом.
-радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины
-нильпотентный радикал,
-замкнутый радикал и т.д. Класс всех
-нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным;
– это
-нильпотентный радикал группы
.
В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций
Теорема 2.1. Пусть и
– формации, причем либо
, либо
замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда
– формация, совпадающая с произведением
Определение 2.5. Пусть – некоторое множество групп. Пусть
– пересечение всех тех формаций, которые содержат
класс
называется формацией, порожденной множеством групп
Заметим, что операцию часто обозначают иначе через
Если
то пишут
вместо
, причем в этом случае
называют формацией, порожденной группой
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах