Локальные формации с метаабелевыми группами
Так как , то по лемме 3.10 подгруппа
является
-группой. Но тогда
, так как по теореме 3.3 имеет место равенство
.
Теорема доказана.
Лемма Чунихин 8 Пусть ,
,
. Тогда
. В частности, если
и
, то
непростая.
Доказательство. Из равенства следует, что
Следовательно, . Отсюда, ввиду
для любого
, получаем
. Лемма доказана.
Теорема Виландт 9 Группа разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в
попарно взаимно просты.
Доказательство. Пусть группа имеет разрешимые подгруппы
,
и
с попарно взаимно простыми индексами. Тогда
. Пусть
– минимальная нормальная подгруппа из
. Так как
разрешима, то
,
– простое число. Ввиду условия теоремы,
не делит одновременно
и
. Пусть, для определенности,
не делит
. Это значит, что силовская
-подгруппа из
является силовской
-подгруппой группы
. Ввиду теоремы Силова
, где
. Так как
и
, то по лемме
. Таким образом,
– неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы
. В фактор-группе
индексы подгрупп
,
и
попарно взаимно просты. По индукции
разрешима, но тогда и
разрешима. Теорема доказана.
Следуя Крамеру, введем следующее определение.
Определение. Класс групп называется
-замкнутым (
– натуральное число), если
содержит всякую группу
, имеющую
-подгрупп, индексы которых в
при
попарно взаимно просты.
По определению, пустая формация -замкнута для любого
. Единственной
-замкнутой непустой формацией, отличной от
, условимся считать
.
Лемма 10 Пусть и
–
-замкнутые классы групп. Тогда
также
-замкнут.
Доказательство очевидно.
Следующая лемма доказана Крамером.
Лемма 11 Пусть формация содержится в
и
-замкнута,
. Тогда формация
является
-замкнутой.
Доказательство. Пусть группа имеет
-подгруппы
,
,…,
, индексы которых в
попарно взаимно просты. Так как
, то по теореме группа
разрешима. При любом гомоморфизме группы
образы подгруппы
принадлежат
и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что
-корадикал
группы
является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что
является
-группой для некоторого
. Подгруппа Фиттинга
группы
также является
-группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей
, делится на
. Поэтому
содержится по крайней мере в
подгруппах нашей системы подгрупп
. Будем считать, что
,
. Так как
является
-группой, то
и
поэлементно перестановочны,
. Отсюда и из следствия вытекает, что
,
. Так как
, то мы получаем, что
,
. Воспользовавшись
-замкнутостью формации
, мы приходим к тому, что
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах