Математический анализ. Практикум

Рефераты / Математика / Математический анализ. Практикум

Т.о., функция является потребительской оценкой или уровнем удовлетворения потребностей индивида при приобретении данного набора . Если набор предпочтительнее набора для данного индивида, то .

Свойства функции полезности.

Первые частные производные функции полезности называются предельными полезностями продуктов. Из этого свойства следует, что возрастание потребления одного продукта при неизменном потреблении других продуктов приводит к росту потребительской оценки. Вектор является градиентом функции , он показывает направление наибольшего роста функции. Для функции ее градиент представляет собой вектор предельных полезностей продуктов.

Т.е. предельная полезность любого товара уменьшается с ростом потребления.

Т.е. предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.

Некоторые виды функций полезности.

1) Неоклассическая: .

2) Квадратическая: , где матрица отрицательно определена и для .

3) Логарифмическая функция: .

6.2 Линии безразличия

В прикладных задачах и моделях потребительского выбора часто используется частный случай набора из двух товаров, т.е. когда функция полезности зависит от двух переменных. Линия безразличия – это линия, соединяющая потребительские наборы, имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивида. По сути своей линии безразличия представляют собой линии уровня функции . Уравнения линий безразличия: .

Основные свойства линий безразличия.

1. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются.

2. Линии безразличия убывают.

3. Линии безразличия выпуклы вниз.

Из свойства 2 следует важное приближенное равенство .

Это соотношение показывает, на сколько индивид должен увеличить (уменьшить) потребление второго продукта при уменьшении (увеличении) потребления первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей. Отношение называется нормой замены первого продукта вторым, а величина – предельной нормой замены первого продукта вторым.

Пример 53. Если предельная полезность первого товара равна 6, а второго – 2, то при уменьшении потребления первого товара на единицу нужно увеличить потребление второго товара на 3 единицы при том же уровне удовлетворения потребностей.

6.3 Бюджетное множество

Пусть – вектор цен на набор из n продуктов ; I – доход индивида, который он готов потратить на приобретение набора продуктов . Множество наборов товаров стоимостью не более I при данных ценах называется бюджетным множеством B. При этом множество наборов стоимостью I называется границей G бюджетного множества B. Т.о. множество B ограничено границей G и естественными ограничениями .

Бюджетное множество описывается системой неравенств:

Рис. 1

Для случая набора из двух товаров бюджетное множество B (рис. 1) представляет собой треугольник в системе координат , ограниченный осями координат и прямой .

6.4 Теория потребительского спроса

В теории потребления полагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и единственным ограничением для него является ограниченность дохода I, который он может потратить на покупку набора товаров. В общем виде задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) формулируется следующим образом: найти потребительский набор , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Математическая модель этой задачи:

В случае набора из двух товаров:

Геометрически решение этой задачи – это точка касания границы бюджетного множества G и линии безразличия.

Решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:

(1)

Решение этой системы является решением задачи потребительского выбора.

Решение задачи потребительского выбора называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен и дохода I. Т.е. точка спроса является функцией спроса. В свою очередь функция спроса – это набор n функций, каждая из которых зависит от аргумента: