Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

Каждому допустимому значению соответствует единственное значение , , , и >. Поэтому синус, косинус, тангенс и катангенс являются функциями угла . Их называют тригонометрическими функцмями.

4.2 Свойства тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.

Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.

Пусть при повороте радиуса , равного , на угол точка перешла в точку с координатами х и у (см. рис.5). Т.к. , то знак зависит от знака . В I и II четвертях >0, а в III и IV четвертях <0 (рис.7).

Рис.7

Значит, >0, если является углом I и II четверти;

Значит, <0, если является углом III и IV четверти;

Знак зависит от знака , т.к. .

В I и IV четвертях >0, а во II и III четвертях <0 (рис.8).

Знаки косинуса

Рис.8

Т.к. , а , то знаки и зависят от знаков и .

В I и III четвертях и имеют одинаковые знаки, а во II и IV – разные. Значит, >0 и >0, если является углом I и III четверти;

<0 и <0, если является углом II и IV четверти (рис.9).

Рис.9

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Пусть при повороте на угол радиус переходит в радиус , а при повороте на угол – в радиус (рис.10).

Рис.10

Соединив отрезком точки и , получим равнобедренный треугольник . Луч является биссектрисой . Значит, отрезок является медианой и высотой . Отсюда следует, что точки и симметричны относительно оси абсцисс.

Пусть координаты т. равны и , тогда координаты т. равны и –. Пользуясь этим, найдем, что

Получили формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и катангенсами противоположных углов:

Например,

,

.

Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функций.

Если при повороте радиуса на угол получен радиус (см. рис.5), то тот же радиус получится и при повороте на угол, отличающийся от на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

 Скачать реферат