Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ

Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у – оси координат (рис.10).

Рис.10

Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у – осью ординат. Точкой пересечения О – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси

. Условимся одну из них называть положительной, отмечая ее стрелкой, а другую – отрицательной.

Каждой точке плоскости сопоставим пару чисел – координаты точки абсциссу (х) и ординату (у) по такому правилу.

Через точку проведем прямую, параллельную оси ординат (рис.11).

Рис.11

Она пересечет ось абсцисс х в некоторой точке . Абсциссой точки будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки . Это число будет положительным, если принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка лежит на оси ординат у, то полагаем х равным нулю.

Ордината (у) точки определяется аналогично. Через точку проведем прямую, параллельную оси абсцисс х (см. рис.11). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке . Ординатой точки будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки . Это число будет положительным, если принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если принадлежит отрицательной полуоси. Если точка лежит на оси абсцисс х, то у полагаем равным нулю.

Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например А (х; у) (на первом месте абсцисса, на втором ордината).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части – четверти: I, II, III, IV (рис 12).

Рис.12

В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, указанные на рисунке.

Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у=0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х=0). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю. Плоскость, на которой введены описанным способом координаты х и у, будем называть плоскостью х у. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем обозначать просто (х; у). Введенные на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые их применил в своих исследованиях.

4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА

4.1 Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого

Отметим на оси х справа от начала координат точку и проведем через нее окружность с центром в т. О (рис.1). Радиус О назовем начальным радиусом.

Рис.1

Повернем начальный радиус около точки О на 70º против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70º. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70º по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен -70º. Углы поворота в 70º и -70º показаны стрелками на рисунке 1.

Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при часовой стрелке – отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от до .Так, если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180º, потом еще на 30º, угол поворота будет равным 210º. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360º; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540º и т.д. На рисунке 2 стрелками показаны углы поворота в 405º и 200º.

Рис.2

Рис.3

Рассмотрим радиусы ОА и ОВ (рис.3). Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. Так если АОВ=130º, то соответствующие углы поворота будут равны 130º + 360ºn, где n – любое ,число.

Например, при n = 0, 1, -1, 2, -2 получаем углы поворота 130º, 490º, -230º, 850º, 590º.

Пусть при повороте на угол начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол называют углом этой четверти. Так, если

0º < < 90º, то – угол I четверти;

90º < < 180º, то – угол II четверти;

180º < < 270º, то – угол III четверти;

270º < < 360º, то – угол IV четверти.

Изобразим четверти на рисунке 4.

 Скачать реферат