Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

Длиной (абсолютной величиной или модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина вектора (вектора ) обозначается так: |width=27 height=23 src="images/referats/11760/image269.png">| (||). Длина нулевого вектора считается равной нулю: ||=0.

6.3 Основные свойства векторов

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос (определение и свойства параллельного переноса в этом же 8 классе на стр. 145), который переводит начало и конец одного вектора в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Пусть вектор имеет началом точку , а концом – . Координатами вектора будем называть числа , . Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае или просто . Координаты нулевого вектора равны нулю.

Из формулы

где – расстояние между точками и , следует, что абсолютная величина вектора с координатами равна .

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно:

Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Произведением вектора на число называется вектор

, т.е. .

По определению .

Скалярным определением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Из определения скалярного определения векторов следует, что для любых векторов

, и

.

Действительно, левая часть равенства есть

, а правая

Очевидно, что они равны.

Углом между векторами и называется угол . Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема 1.1.

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство.

Пусть и – данные векторы и – угол между ними. Имеем

или

Отсюда видно, что скалярное произведение выражается через длины векторов , и +, а поэтому зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат так, как показано на рис.6.

Рис.6

При таком выборе системы координат координатами вектора будут и , а координатами вектора будут и . Это следует из прямоугольного : , т.к.

,

 Скачать реферат