Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

и) главным в изучении математики является понимание, а не навыки.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОСИНУСА, СИНУСА И ТАНГЕНСА ОСТРОГО УГЛА

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Угол, меньший 90º, называется острым углом.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Угол, равный 90º, называется

прямым углом.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

180º - 90º= 90º.

Сторона прямоугольного треугольника, принадлежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Косинус угла обозначается так:

Косинус угла равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т.е.

Рис.1

Теорема 1.1

Косинус угла зависти только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А΄В΄С΄ – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах А и А΄, равным (рис. 2).

Рис.2

Требуется доказать что

Построим треугольник , равный треугольнику , как показано на рисунке 2. Так как прямые и перпендикулярны прямой , то они параллельны.

Напоминание:

Определение. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

По теореме о пропорциональных отрезках имеем

Напоминание:

Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

А так как по построению

, , то

Теорема доказана.

Синусом угла (обозначается ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (рис.1).

Тангенсом угла (обозначается ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (рис. 1).

Синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят только от величины угла.

Действительно, по теореме Пифагора

(рис.1)

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

По определению

Поставим значение

Так как зависит только от величины угла, то и зависит только от величины угла.

По определению

Разделим числитель и знаменатель на

Отсюда видно, что и тангенс зависит только от величины угла.

Из определения , и получаем следующие правила:

Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на .

Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на .

Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на .

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны, находить острые углы (рис.3).

Рис.3

а = с

b = c

a = b

2.1 Основные тригонометрические тождества

Одно тождество мы уже знаем:

.

Докажем следующие тождества

Доказательство. Возьмем любой прямоугольный треугольник с углом при вершине , равным (рис.4).

 Скачать реферат