Структурные особенности учебного материала в школьном курсе тригонометрии

Например

Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360º.

Например

;

.

4.3 Радианная мера угла

Угол в – это угол, который опишет начальный радиус, совершив часть полного оборота вокруг своей начальной точки против часовой стрелки.

часть градуса называется минутой (обозначают ).

часть минуты называется секундой (обозначают ).

Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Эти единицы измерения связаны между собой соотношениями

Кроме указанных, используется также единица измерения углов, называемая радианом.

Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на такую дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис.11).

Рис.11

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 12 заштрихован один из плоских углов со сторонами и .

Рис.12

Угол, равный 1 радиан, изображен на рисунке 13.

Рис.13

Радианная мера угла, т.е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и длинной окружности с центром в вершине этого угла, подобны между собой (рис.14).

Рис.14

Установим связь между радианным и градусным измерениями углов.

Углу, равному 180º, соответствует полуокружность, т.е. дуга, длина которой равна :

Чтобы найти радианную меру этого угла, надо длину дуги разделить на длину радиуса . Получим:

Следовательно, радианная мера угла в 180º равна

180º=рад.

Отсюда получаем, что радианная мера угла в 1º равна

:1º=рад

Приближенно 1º равен 0,017 рад.

Из равенства 180º=рад также следует, что градусная мера угла в 1 рад равна

:1 рад=

Приближенно 1 рад равен 57º.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.

1. Выразим в градусах 4,5 рад.

Так как 1 рад=, то

4,5 рад=.

2. Найдем радианную меру угла в 72º

Так как 1º=рад, то

72º=рад =рад1,3 рад.

П

ри записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например вместо равенства

72º=рад пишут: 72º=

Выразим в радианной мере углы 30º, 60º, 60º, 90º, 270º и 360º. Получим

30º=30=

45º=45=

60º=60=

90º=90=

270º=270=

360º=360=.

Радианная мера угла часто используется в тригонометрических выражениях. Так запись означает синус угла в 1 радиан, запись означает синус угла в – 2,5 радиана. Вообще запись , где – произвольное действительное число, означает синус угла, равного радианам.

5 ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

5.1 Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

 Скачать реферат