Гипергеометрическое уравнение

(-)(+k-1)(-1)}zk=0.

Кроме распространенных рекуррентных соотношений существуют аналогичные соотношения, связывающие гипергеометрическую ф

ункцию вида F(, , ,z) с какой – либо парой родственных функций вида F(+1, +m, +n,z), где l,m,n – произвольные целые числа.

Простейшими рекуррентными соотношениями этого типа являются

F(, , ,z)-F(, , -1,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.12)

F(, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.13)

F(, +1, +1,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +2,z) (2.14)

F(-1, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(, +1, +1,z) (2.15)

К данному классу относятся также равенство (1.6)

Формулы (2.12) и (2.15) доказываются подстановкой в них ряда (1.1) или выводятся на основе уже известных рекуррентных соотношений для смежных функций.

1.3 Гипергеометрическое уравнение

Заметим, что гипергеометрическая функция u= F(, , ,z) является интегралом линейного дифференциального уравнения

z(1-z) +[ -(++1)] -u=0 (2.16)

регулярным в окрестности точки z=0.

Уравнение (2.16) называется гипергеометрическим и включает, как частные случаи, многие дифференциальные уравнения, встречающихся в приложениях.

Если привести это уравнение к стандартной форме, разделив его на коэффициент при второй производной, то коэффициенты полученного уравнения будут регулярными функциями переменного z в области 0<<1 <1, имеющимися при z=0 полюс первого порядка или обыкновенную точку, в зависимости от значений параметров , , .

Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что в таком случае рассматриваемое уравнение должно иметь частное решение вида

u=zszk (2.17)

где s – надлежащее выбранное число, 0, степенной ряд сходится при <1

u=zk+s

=(k+s)zk+s-1

=(k+s)(k+s-1)zk+s-2

Подставляя (2.17) в уравнение (2.16) находим

z(1-z) (zk+s+[ -(++1)z] (zk+s-zk+s=0,

 Скачать реферат