Гипергеометрическое уравнение

u= F(,,z)+BF(1+-,2-,z) (при =1 u= ) (5.2)

0, 1, 2,…

Чтобы получить выражение общего интеграла в форме, пригодной для любых значений (кроме =0,-1,-2,…), удобнл ввести вырожденную гипергеометрическую функцию второго рода

G,,z)=F(,,z)+ F(1+-,2-,z) (5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) определяет функцию G,,z) для любых , отличных от целого числа. Покажем, что при n+1 (n=0,1,2,…) правая часть (5.3) стремиться к определенному пределу. Для доказательства заменим гипергеометрические функции соответствующими рядами и воспользуемся соотношением теории Г-функции. Тогда получим (5.4)

G,,z)=[-]=

=()

Мы имеем

==

n=0,1,2,…

===

=,

поэтому выражение в правой части (5.4) при n+1 принимает неопределенный вид и стремится к пределу, значение которого может быть найдено по правилу Лопиталя. В соответствии с этим результатом положим

G(,,z)= G,,z)= (-1)n+1[] (5.5)

n=0,1,2,…

Выполнив вычисления, находим:

=[],

=[]+

+,

откуда для G(,n+1,z) получается явное выражение в форме ряда (5.6)

G(,n+1,z)= []+

+,

n=0,1,2,… , 0,-1,-2,… ,

 Скачать реферат