Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая(Утверждения3)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство <

p>Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c– четные, чего не должно быть, либоb и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.

Случай 1.

(12)

(13′)

(14)

(15) , которые также являются решениями уравнения

(11) .

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

=> .

Выразим из (17) и (16) :

=>

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то => .

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:

, т.к. из (20) получается

(20′).

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

(28), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

(30´), => c =(30´), (29´)

(28´), => b = 1 (28´), (24´), где

 Скачать реферат