Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва «Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

(Отличающийс

я «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, K)

с = - В (16-B),

b= С (17+C),

n= N(18),

K(19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.

(40´),(38´´),

, (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=>

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с:

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для с:

,

т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (34), получим => .

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N(18), n= N(18),

K(19), K(19).

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.

«Общие свойства для с и b»:

сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:

 Скачать реферат