Линейные и квадратичные зависимости, функция х и связанные с ними уравнения и неравенства

Рис. 5.

Алгебраически: рис. 3 – квадратный трехчлен имеет корни, расположенные правее числа d (возможно х1 = d); рис. 4 - квадратный трехчлен имеет корни, расположенные левее числа с (возможно х2 = с); рис. 5 - квадратный трехчлен не имеет корней.

Пользуясь теоремой 7 пункты I, II, выпишем вышесказанное в виде совокупности алгебраических систем:

Полный ответ задачи получается объединением ответов из случаев 1); 2); 3).

Теперь ясно, что:

Решая задачу о взаимном расположении решений квадратных неравенств с логическим высказыванием, удобно поступить следующим образом:

1) переформулировать логическое высказывание на языке теории множеств, в виде соотношений включения для множества решений неравенств.

2) получить геометрические иллюстрации, которые выясняют возможное взаимное расположение границ множеств решений – корней квадратных трехчленов.

3) выписать, используя результаты теоремы 7, совокупность алгебраических систем, которые соответствуют различным случаям геометрического расположения корней и различным случаям знака коэффициента при х2 в неравенствах.

4) собрать в окончательном ответе задачи объединение промежуточных ответов для всех рассмотренных случаев.

Применим сформулированный алгоритм, для решения следующей задачи:

II. Найти все значения параметра а, при которых неравенство:

0 (6)

выполняется для всех

Решение.

1) Если А – множество решений неравенства (6), В – множество (7), то задача соответствует включению .

2) Разберем все возможные случаи знака коэффициента , и для каждого из них приведем геометрические иллюстрации:

2а) , тогда (6)

				x

Рис. 1. Рис. 2.

В этом случае множество А – либо интервал (х1,х2) (рис. 1), либо А = (рис. 2). Поэтому включение невозможно.

2б) , тогда неравенство (6) примет вид:

Изобразим графически различные возможные варианты расположения прямой для этого случая (4 рисунка).

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

На рис. 3 и рис. 5 множество А = (- и А = - соответственно.

На рис. 4 и рис. 6 множество А = ( и А = - соответственно.

Ясно, что включение возможно только в случаях рис. 3 и рис. 5.

Алгебраически это соответствует:

2в) , тогда неравенство (6) запишется в виде:

Возможны два различных случая расположения параболы

 Скачать реферат